Lösung für Problem 14.3.19 aus der Sammlung von Kepe O.E.

14.3.19

Es gibt einen Körper 1 Mit einer MAsse von 2 kg, der sich unter der Wirkung einer Feder relAtiv zu eineM Körper 2 Mit einer MAsse von 8 kg bewegt. DAs Bewegungsgesetz von Körper 1 ergibt sich aus der ForMel: s = 0,2 + 0,05 cos(ωt), wobei s die Koordinate von Körper 1 und ω die Winkelgeschwindigkeit der Federschwingungen ist.

Körper 2 kann entlang horizontaler Führungen gleiten. Zum Zeitpunkt t = 2 s beginnt Körper 2, sich aus dem Ruhezustand zu bewegen. Es ist notwendig, die Geschwindigkeit von Körper 2 zu diesem Zeitpunkt zu bestimmen.

Antwort:

Zunächst bestimmen wir die Winkelgeschwindigkeit der Federschwingungen:

ω = 2π/T, wobei T die Schwingungsdauer der Feder ist.

Da die Bewegung von Körper 1 mit der Bewegung von Körper 2 verbunden ist, können wir die Koordinate von Körper 1 durch die Koordinate von Körper 2 ausdrücken:

s = x - l, wobei x die Koordinate von Körper 2 und l die Länge der gespannten Feder ist.

Wenn wir diesen Ausdruck nach der Zeit differenzieren, erhalten wir:

v = dx/dt – dl/dt = dx/dt – v₂, wobei v die Geschwindigkeit von Körper 1 ist und v₂ - Geschwindigkeit des Körpers 2.

Da sich Körper 1 unter der Wirkung einer Feder bewegt, wird seine Beschleunigung durch die Formel bestimmt:

a = -ω²s = -ω²(x - l).

Dann wird die Beschleunigung von Körper 2 durch den Ausdruck bestimmt:

a₂ = -a(m₁/M₂) = ω²(x - l)(m₁/M₂), wo m₁ = 2 kg - Körpergewicht 1 und m₂ = 8 kg - Körpergewicht 2.

Da sich Körper 2 aus dem Ruhezustand zu bewegen beginnt, beträgt seine Anfangsgeschwindigkeit 0. Um dann die Geschwindigkeit von Körper 2 zum Zeitpunkt t = 2 s zu bestimmen, können Sie die Formel verwenden:

v₂ = ∫₀²a₂dt = (ω²m₁/M₂)∫₀²(x - l)dt = (ω²m₁/M₂)(S₀t - l₀sin(ωt)),

Wo bist du₀ = s(t=2) = 0,35 m - Koordinate von Körper 1 zum Zeitpunkt t = 2 s und l₀ - Länge der gedehnten Feder in einem bestimmten Zustand.

Wenn wir bekannte Werte ersetzen, erhalten wir:

v₂ = (2π/T)²(2 kg)/(8 kg)(0,35 m - l₀sin(4π

Lösungsaufgaben 14.3.19

Es gibt einen Körper 1 mit einer Masse von 2 kg, der sich unter der Wirkung einer Feder relativ zu einem Körper 2 mit einer Masse von 8 kg bewegt. Das Bewegungsgesetz von Körper 1 ergibt sich aus der Formel: s = 0,2 + 0,05 cos(ωt), wobei s die Koordinate von Körper 1 und ω die Winkelgeschwindigkeit der Federschwingungen ist.

Körper 2 kann entlang horizontaler Führungen gleiten. Zum Zeitpunkt t = 2 s beginnt Körper 2, sich aus dem Ruhezustand zu bewegen. Es ist notwendig, die Geschwindigkeit von Körper 2 zu diesem Zeitpunkt zu bestimmen.

Antwort:

Zunächst bestimmen wir die Winkelgeschwindigkeit der Federschwingungen:

ω = 2π/T, wobei T die Schwingungsdauer der Feder ist.

Da die Bewegung von Körper 1 mit der Bewegung von Körper 2 verbunden ist, können wir die Koordinate von Körper 1 durch die Koordinate von Körper 2 ausdrücken:

s = x - l, wobei x die Koordinate von Körper 2 und l die Länge der gespannten Feder ist.

Wenn wir diesen Ausdruck nach der Zeit differenzieren, erhalten wir:

v = dx/dt – dl/dt = dx/dt – v₂, wobei v die Geschwindigkeit von Körper 1 ist und v₂ - Geschwindigkeit des Körpers 2.

Da sich Körper 1 unter der Wirkung einer Feder bewegt, wird seine Beschleunigung durch die Formel bestimmt:

a = -ω²s = -ω²(x - l).

Dann wird die Beschleunigung von Körper 2 durch den Ausdruck bestimmt:

a₂ = -a(m₁/M₂) = ω²(x - l)(m₁/M₂), wo m₁ = 2 kg - Körpergewicht 1 und m₂ = 8 kg - Körpergewicht 2.

Da sich Körper 2 aus dem Ruhezustand zu bewegen beginnt, beträgt seine Anfangsgeschwindigkeit 0. Um dann die Geschwindigkeit von Körper 2 zum Zeitpunkt t = 2 s zu bestimmen, können Sie die Formel verwenden:

v₂ = ∫₀²a₂dt = (ω²m₁/M₂)∫₀²(x - l)dt = (ω²m₁/M₂)(S₀t - l₀sin(ωt)),

Wo bist du₀ = s(t=2) = 0,35 m - Koordinate von Körper 1 zum Zeitpunkt t = 2 s und l₀ - Länge der gedehnten Feder in einem bestimmten Zustand.

Wenn wir bekannte Werte ersetzen, erhalten wir:

v₂ = (2π/T)²(2 kg)/(8 kg)(0,35 m - l₀

Lösung für Problem 14.3.19 aus der Sammlung von Kepe O..

Dieses digitale Produkt ist die Lösung für Problem 14.3.19 aus der Sammlung von Kepe O. in der Physik. Wenn Sie ein Student oder Schüler sind, der Physik studiert, wird Ihnen diese Lösung im Lernprozess nützlich sein.

Dieses Problem betrachtet die Bewegung zweier Körper, die durch eine Feder verbunden sind. Es ist notwendig, die Geschwindigkeit eines der Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen. Die Lösung des Problems wird in Form einer detaillierten Schritt-für-Schritt-Anleitung präsentiert, die es Ihnen ermöglicht zu verstehen, wie die Antwort erhalten wurde und wie Sie diese Technik zur Lösung ähnlicher Probleme anwenden können.

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Dieses Produkt ist eine Lösung für Problem 14.3.19 aus der Sammlung von Kepe O.?. in der Physik. Das Problem betrachtet die Bewegung zweier Körper, die durch eine Feder verbunden sind, und es ist notwendig, die Geschwindigkeit eines der Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen. Die Lösung wird in Form einer detaillierten Anleitung mit einem schrittweisen Lösungsalgorithmus dargestellt.

Je nach Problemstellung bewegt sich Körper 1 mit einer Masse von 2 kg relativ zu Körper 2 mit einer Masse von 8 kg unter der Wirkung einer Feder. Das Bewegungsgesetz von Körper 1 ergibt sich aus der Formel s = 0,2 + 0,05 cos(ωt), wobei s die Koordinate von Körper 1 und ω die Winkelgeschwindigkeit der Federschwingungen ist. Körper 2 kann entlang horizontaler Führungen gleiten.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Winkelgeschwindigkeit der Schwingungen der Feder zu bestimmen und die Koordinate von Körper 1 durch die Koordinate von Körper 2 auszudrücken. Anschließend müssen Sie diesen Ausdruck nach der Zeit differenzieren, um die Geschwindigkeit von Körper 1 zu erhalten . Die Beschleunigung von Körper 1 wird durch die Formel a = -ω^2s und die Beschleunigung von Körper 2 durch den Ausdruck a2 = -a(m1/m2) bestimmt.

Da sich Körper 2 aus dem Ruhezustand zu bewegen beginnt, ist seine Anfangsgeschwindigkeit gleich 0. Um die Geschwindigkeit von Körper 2 zum Zeitpunkt t = 2 s zu bestimmen, können Sie die Formel v2 = ∫0^2a2dt verwenden. Wenn wir die bekannten Werte einsetzen, erhalten wir die Antwort: v2 = 0.

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Lösung zu Aufgabe 14.3.19 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, die Geschwindigkeit des 8 kg schweren Körpers 2 zum Zeitpunkt t = 2 s zu bestimmen, wenn er sich aus dem Ruhezustand zu bewegen beginnt und sich unter der Wirkung einer Feder relativ zum 2 kg schweren Körper 1 gemäß dem Gesetz bewegt s = 0,2 + 0,05 cos ?t, wobei s die Verschiebung von Körper 1 relativ zur Gleichgewichtsposition ist, t die Zeit in Sekunden ist, ? - Kreisfrequenz der Federschwingungen im Bogenmaß pro Sekunde.

Um das Problem zu lösen, müssen die Gesetze der Dynamik und das Gesetz der Impulserhaltung angewendet werden. Zunächst wird die Geschwindigkeit des Körpers 1 zum Zeitpunkt t = 2 s mithilfe der Formel für die Geschwindigkeit bei harmonischen Schwingungen bestimmt: v = -Asin(ωt), wobei A die Amplitude der Schwingungen und ω die Kreisfrequenz der Schwingungen der Feder ist . Anschließend wird mithilfe des Impulserhaltungssatzes die Geschwindigkeit von Körper 2 bestimmt.

Bei diesem Problem ist die Kreisfrequenz der Schwingung der Feder unbekannt und muss daher aus der Schwingungsgleichung s = 0,2 + 0,05 cos ?t ermittelt werden. Für diese Gleichung ist es notwendig, sie auf die Form s = A cos(ωt + φ) zu reduzieren, wobei A die Amplitude der Schwingungen, ω die Kreisfrequenz der Schwingungen der Feder und φ die Anfangsphase der Schwingungen ist. Nachdem wir die Gleichung auf diese Form reduziert haben, erhalten wir:

s = 0,25 cos (?t - 1,107)

Wenn wir diese Gleichung mit s = A cos(ωt + φ) vergleichen, finden wir, dass A = 0,25, φ = -1,107 rad. Dann ist die Kreisfrequenz der Schwingung der Feder gleich ω = ?, wobei ? = ωt + φ. Wir ersetzen die Werte t = 2 s und ω = ?/t - φ/t und ermitteln die Kreisfrequenz der Federschwingungen:

ω = 1,107/2 + arccos(0,2/0,25)/2 ≈ 0,785 rad/s

Als nächstes bestimmen wir mithilfe der Geschwindigkeitsformel bei harmonischen Schwingungen die Geschwindigkeit von Körper 1 zum Zeitpunkt t = 2 s:

v1 = -Asin(ωt) = -0,25sin(0,785*2) ≈ -0,306 m/s

Schließlich ermitteln wir mithilfe des Impulserhaltungssatzes die Geschwindigkeit von Körper 2 zum Zeitpunkt t = 2 s:

m1v1 + m2v2 = 0

v2 = -m1v1 / m2 = 0,306 * 2 / 8 = 0,0765 m/s

Die Geschwindigkeit von Körper 2 zum Zeitpunkt t = 2 s, wenn er sich aus dem Ruhezustand zu bewegen beginnt, beträgt also 0,0765 m/s.

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