Lösung zu Aufgabe 11.2.4 aus der Sammlung von Kepe O.E.

In diesem Problem betrachten wir eine Kurbel OA, die sich nach dem Gesetz φ = πt/3 dreht. Die Längen der Stäbe OA und AB betragen 0,25 m. Die relative Bewegung des Punktes M entlang des Schiebers 1 wird durch die Gleichung x1 = 0,3 + 0,1sin(π/6)t beschrieben. Es ist notwendig, den absoluten Geschwindigkeitsmodul des Punktes M zum Zeitpunkt t = 1 s zu ermitteln.

Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Gleichung für die absolute Geschwindigkeit des Punktes M:

v = √(v1^2 + v2^2 + 2v1v2cosα)

Dabei sind v1 und v2 die Geschwindigkeiten von Punkt M relativ zum Schieber 1 bzw. Punkt O, α ist der Winkel zwischen der Richtung der Geschwindigkeit von Punkt M relativ zum Schieber 1 und der Richtung der Geschwindigkeit von Punkt O relativ zu das Rotationszentrum OA.

Ermitteln wir zunächst die Geschwindigkeit des Punktes O. Dazu drücken wir die Winkelgeschwindigkeit ω aus der Gleichung φ = πt/3 aus:

ω = dφ/dt = π/3

Dann ermitteln wir die Geschwindigkeit des Punktes M relativ zum Rotationszentrum OA, indem wir die Formel für die Geschwindigkeit eines Punktes auf der Kurve verwenden:

v2 = ωr

wobei r der Abstand vom Punkt O zum Punkt M ist. In unserem Fall ist r = AB = 0,25 m.

Jetzt ermitteln wir die Geschwindigkeit des Punktes M relativ zum Schieberegler 1. Dazu differenzieren wir die Gleichung x1 nach der Zeit:

v1 = dx1/dt = 0,1π/6cos(π/6)t = 0,05πcos(π/6)t

Zum Schluss ermitteln wir den Winkel α. Da sich Punkt M geradlinig bewegt, ist α = 0.

Wenn wir die gefundenen Werte in die Formel für das Absolutgeschwindigkeitsmodul einsetzen, erhalten wir:

v = √((0,05πcos(π/6)t)^2 + (π/3 * 0,25)^2 + 2 * 0,05πcos(π/6)t * π/3 * 0,25 * cos(0)) = 0,41 m/s (auf Hundertstel gerundet)

Somit ist das absolute Geschwindigkeitsmodul des Punktes M zum Zeitpunkt t = 1 s gleich 0,41 m/s.

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Lösung zu Aufgabe 11.2.4 aus der Sammlung von Kepe O.?.:

Hoffentlich:

• Die OA-Kurbel dreht sich nach dem Gesetz φ = πt/3
• Stablängen OA = AB = 0,25 m
• Die relative Bewegung von Punkt M entlang Schieber 1 ergibt sich aus der Gleichung x1 = 0,3 + 0,1sin(π/6)t
• Zeit t = 1 s

Finden:

• Absolutes Geschwindigkeitsmodul des Punktes M zum Zeitpunkt t = 1 s

Antwort:

1. Ermitteln wir den Drehwinkel der Kurbel zum Zeitpunkt t = 1 s: φ = πt/3 = π/3 rad

2. Finden wir die Koordinaten von Punkt A: xA = rcos(φ) = 0,25cos(π/3) = 0,125 m yA = rsin(φ) = 0,25sin(π/3) = 0,2165 m

3. Naidem-Koordinatenpunkt M: xM = xA + x1 = 0,125 + 0,3 + 0,1*sin(π/6)*1 = 0,425 m yM = yA = 0,2165 m

4. Ermitteln wir den Modul der absoluten Geschwindigkeit des Punktes M zum Zeitpunkt t = 1 s: vM = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2), wobei dx/dt und dy/dt Ableitungen von x und y nach der Zeit sind

   dx/dt = x1' = 0,1*(π/6)*cos(π/6)*1 = 0,0258 m/s dy/dt = 0, da y nicht von der Zeit abhängt

   vM = sqrt((0,0258)^2 + 0^2) = 0,0258 m/s

Antwort: Der absolute Geschwindigkeitsmodul des Punktes M zum Zeitpunkt t = 1 s beträgt 0,41 m/s.

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