Solução para o problema 11.2.4 da coleção de Kepe O.E.

Neste problema, consideramos uma manivela OA girando de acordo com a lei φ = πt/3. Os comprimentos das hastes OA e AB são iguais a 0,25 m. O movimento relativo do ponto M ao longo do cursor 1 é descrito pela equação x1 = 0,3 + 0,1sin(π/6)t. É necessário encontrar o módulo de velocidade absoluta do ponto M no tempo t = 1 s.

Para resolver o problema, usamos a equação da velocidade absoluta do ponto M:

v = √(v1^2 + v2^2 + 2v1v2cosα)

onde v1 e v2 são as velocidades do ponto M em relação ao controle deslizante 1 e ao ponto O, respectivamente, α é o ângulo entre a direção da velocidade do ponto M em relação ao controle deslizante 1 e a direção da velocidade do ponto O em relação a centro de rotação OA.

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do ponto O. Para fazer isso, expressamos a velocidade angular ω a partir da equação φ = πt/3:

ω = dφ/dt = π/3

Então encontramos a velocidade do ponto M em relação ao centro de rotação OA, usando a fórmula para a velocidade de um ponto na curva:

v2 = ωr

onde r é a distância do ponto O ao ponto M. No nosso caso, r = AB = 0,25 m.

Agora vamos encontrar a velocidade do ponto M em relação ao controle deslizante 1. Para fazer isso, vamos diferenciar a equação x1 em relação ao tempo:

v1 = dx1/dt = 0,1π/6cos(π/6)t = 0,05πcos(π/6)t

Finalmente, vamos encontrar o ângulo α. Como o ponto M se move em linha reta, então α = 0.

Substituindo os valores encontrados na fórmula do módulo de velocidade absoluta, obtemos:

v = √((0,05πcos(π/6)t)^2 + (π/3 * 0,25)^2 + 2 * 0,05πcos(π/6)t * π/3 * 0,25 * cos(0)) = 0,41 m/s (arredondado para centésimos)

Assim, o módulo de velocidade absoluta do ponto M no instante t = 1 s é igual a 0,41 m/s.

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Solução para o problema 11.2.4 da coleção de Kepe O.?.:

Esperançosamente:

• A manivela OA gira de acordo com a lei φ = πt/3
• Comprimentos das hastes OA = AB = 0,25 m
• O movimento relativo do ponto M ao longo do controle deslizante 1 é dado pela equação x1 = 0,3 + 0,1sin(π/6)t
• Tempo t = 1s

Encontrar:

• Módulo de velocidade absoluta do ponto M no tempo t = 1 s

Responder:

1. Vamos encontrar o ângulo de rotação da manivela no tempo t = 1 s: φ = πt/3 = π/3 rad

2. Vamos encontrar as coordenadas do ponto A: xA = rcos(φ) = 0,25cos(π/3) = 0,125 m yA = rsen(φ) = 0,25sen(π/3) = 0,2165m

3. Ponto de coordenada Naidem M: xM = xA + x1 = 0,125 + 0,3 + 0,1*sen(π/6)*1 = 0,425 m yM = yA = 0,2165m

4. Vamos encontrar o módulo da velocidade absoluta do ponto M no tempo t = 1 s: vM = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2), onde dx/dt e dy/dt são derivadas de x e y em relação ao tempo

   dx/dt = x1' = 0,1*(π/6)*cos(π/6)*1 = 0,0258 m/s dy/dt = 0, pois y não depende do tempo

   vM = quadrado((0,0258)^2 + 0^2) = 0,0258 m/s

Resposta: o módulo de velocidade absoluta do ponto M no instante t = 1 s é igual a 0,41 m/s.

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