9.2.11 Em um mecanismo com engrenagem interna, a engrenagem 1 e a manivela OA giram independentemente uma da outra com velocidades angulares ?1 = 2 rad/s e ?OA = 4 rad/s. É necessário determinar a velocidade angular da engrenagem 2 se o raio r1 = 30 cm e o comprimento da manivela OA for 20 cm.
Para resolver este problema, você precisa usar a fórmula para a velocidade de um ponto em um círculo: v = r * w, onde v é a velocidade de um ponto em um círculo, r é o raio do círculo, w é o velocidade angular de rotação do círculo.
Primeiro, vamos determinar a velocidade angular do ponto A localizado na manivela. Para fazer isso, usamos a fórmula para determinar a velocidade angular de um ponto da curva: w_A = w_OA * cos(alpha), onde w_OA é a velocidade angular de rotação da manivela, alfa é o ângulo entre a manivela e o linha que passa pelo centro de rotação da manivela e pelo ponto A. Como a manivela gira com uma velocidade angular de 4 rad/s e o ângulo alfa é de 90 graus, então a velocidade angular do ponto A será igual a w_A = 4 * cos(90) = 0 rad/s.
Em seguida, determinamos a velocidade do ponto B localizado na engrenagem 1. Para isso, usamos a fórmula v_B = r1 * w1, onde r1 é o raio da engrenagem 1, w1 é a velocidade angular de rotação da engrenagem 1. Como a engrenagem 1 gira com uma velocidade angular de 2 rad /s, então a velocidade do ponto B será igual a v_B = 30 * 2 = 60 cm/s.
Por fim, determinamos a velocidade angular da engrenagem 2, que está engrenada com a engrenagem 1. Para isso, utilizamos a fórmula da velocidade na engrenagem interna: v2 = v1 * r1 / r2, onde v2 é a velocidade dos pontos em engrenagem 2, r2 é o raio da engrenagem 2. Como a engrenagem 1 e a manivela giram independentemente uma da outra, a velocidade do ponto B será igual à velocidade do ponto C localizado na engrenagem 2. Assim, v2 = v_C = 60 cm/s. Substituindo os valores na fórmula da velocidade pela engrenagem interna, obtemos:
w2 = w1 * r1/r2 w2 = 2 * 30/r2 w2 = 60/r2
Para encontrar a velocidade angular da engrenagem 2, é necessário encontrar o valor do seu raio r2. Para fazer isso, usamos a fórmula do comprimento do arco: l = r * alfa, onde l é o comprimento do arco, alfa é o ângulo em radianos. Como o comprimento da manivela OA é 20 cm, o ângulo no qual ela gira é alfa = 20/30 = 2/3 radianos.
Usando a fórmula do comprimento do arco, encontramos o comprimento do arco circular no qual o ponto C está localizado:
eu = r2 * alfa eu = 2/3 * r2
Sabe-se também que o comprimento do arco da engrenagem 2, onde está localizado o ponto C, é igual ao comprimento do arco da engrenagem 1, onde está localizado o ponto B. Ou seja:
l = r1 * delta, onde delta é o ângulo de engate dos dentes da engrenagem.
Assim obtemos:
2/3 * r2 = 30 * delta
Vamos expressar o ângulo de engate das engrenagens através do raio da roda 2:
delta = (2/3 * r2)/30
Vamos substituir esta expressão na fórmula da velocidade angular da engrenagem 2:
w2 = 60 / r2 = 2 * 30 / [(2/3 * r2) / 30]
Vamos simplificar a expressão:
w2 = 9 rad/s
Assim, a velocidade angular da engrenagem 2 é 9 rad/s.
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Para resolver o problema é necessário utilizar o raio da roda dentada 1, que é igual a 30 cm, e o comprimento da manivela OA, que é igual a 20 cm. A partir das condições do problema, as velocidades angulares são conhecidos os valores de rotação da roda dentada 1 e da manivela OA, que são iguais a 2 rad/s e 4 rad/s, respectivamente. Ao resolver as equações, você pode obter a resposta do problema, que é igual a 2 rad/s.
Assim, este produto é uma solução completa para o problema 9.2.11 da coleção O.?. Continue com a mecânica diferencial, incluindo todos os cálculos e explicações necessárias.
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