Soluzione del problema 9.2.11 dalla collezione di Kepe O.E.

9.2.11 In un meccanismo con ingranaggi interni, l'ingranaggio 1 e la manovella OA ruotano indipendentemente l'uno dall'altro con velocità angolari ?1 = 2 rad/s e ?OA = 4 rad/s. È necessario determinare la velocità angolare dell'ingranaggio 2 se il raggio r1 = 30 cm e la lunghezza della manovella OA è 20 cm.

Per risolvere questo problema, è necessario utilizzare la formula per la velocità di un punto su un cerchio: v = r * w, dove v è la velocità di un punto su un cerchio, r è il raggio del cerchio, w è il velocità angolare di rotazione del cerchio.

Per prima cosa determiniamo la velocità angolare del punto A situato sulla pedivella. Per fare ciò, utilizziamo la formula per determinare la velocità angolare di un punto sulla curva: w_A = w_OA * cos(alpha), dove w_OA è la velocità angolare di rotazione della manovella, alpha è l'angolo tra la manovella e la linea che passa attraverso il centro di rotazione della manovella e il punto A. Poiché la manovella ruota con una velocità angolare di 4 rad/s e l'angolo alfa è di 90 gradi, la velocità angolare del punto A sarà uguale a w_A = 4 * cos(90) = 0 rad/s.

Quindi determiniamo la velocità del punto B situato sull'ingranaggio 1. Per fare ciò, utilizziamo la formula v_B = r1 * w1, dove r1 è il raggio dell'ingranaggio 1, w1 è la velocità angolare di rotazione dell'ingranaggio 1. Poiché l'ingranaggio 1 ruota con una velocità angolare di 2 rad/s, allora la velocità del punto B sarà pari a v_B = 30 * 2 = 60 cm/s.

Infine, determiniamo la velocità angolare dell'ingranaggio 2, che è in presa con l'ingranaggio 1. Per fare ciò, utilizziamo la formula per la velocità con ingranaggi interni: v2 = v1 * r1 / r2, dove v2 è la velocità dei punti su ingranaggio 2, r2 è il raggio dell'ingranaggio 2. Poiché l'ingranaggio 1 e la manovella ruotano indipendentemente l'uno dall'altro, la velocità del punto B sarà uguale alla velocità del punto C situato sull'ingranaggio 2. Pertanto, v2 = v_C = 60 cm/s. Sostituendo i valori nella formula della velocità con ingranaggi interni, otteniamo:

w2 = w1 * r1 / r2 w2 = 2 * 30 / r2 w2 = 60 / r2

Per trovare la velocità angolare dell'ingranaggio 2 è necessario trovare il valore del suo raggio r2. Per fare ciò usiamo la formula per la lunghezza dell'arco: l = r * alfa, dove l è la lunghezza dell'arco, alfa è l'angolo in radianti. Poiché la lunghezza della manovella OA è di 20 cm, l'angolo di rotazione è alfa = 20/30 = 2/3 radianti.

Utilizzando la formula per la lunghezza dell'arco, troviamo la lunghezza dell'arco circolare su cui si trova il punto C:

l = r2 * alfa l = 2/3 * r2

È anche noto che la lunghezza dell'arco della marcia 2, su cui si trova il punto C, è uguale alla lunghezza dell'arco della marcia 1, su cui si trova il punto B. Cioè:

l = r1 * delta, dove delta è l'angolo di innesto dei denti dell'ingranaggio.

Otteniamo così:

2/3 * r2 = 30 * delta

Esprimiamo l'angolo di innesto degli ingranaggi attraverso il raggio della ruota 2:

delta = (2/3 * r2) / 30

Sostituiamo questa espressione nella formula per la velocità angolare dell'ingranaggio 2:

w2 = 60 / r2 = 2 * 30 / [(2/3 * r2) / 30]

Semplifichiamo l'espressione:

w2 = 9 rad/s

Pertanto, la velocità angolare dell'ingranaggio 2 è 9 rad/s.

Soluzione al problema 9.2.11 dalla collezione di Kepe O.?.

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Per risolvere il problema è necessario utilizzare il raggio della ruota dentata 1, pari a 30 cm, e la lunghezza della manovella OA, pari a 20 cm Dalle condizioni del problema si ricavano le velocità angolari Sono noti i giri di rotazione della ruota dentata 1 e della manovella OA, pari rispettivamente a 2 rad/s e 4 rad/s. Risolvendo le equazioni, puoi ottenere la risposta al problema, che è pari a 2 rad/s.

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