9.2.11 En un mecanismo con engranaje interno, el engranaje 1 y la manivela OA giran independientemente uno del otro con velocidades angulares ?1 = 2 rad/s y ?OA = 4 rad/s. Es necesario determinar la velocidad angular del engranaje 2 si el radio r1 = 30 cm y la longitud de la manivela OA es 20 cm.
Para resolver este problema, necesitas usar la fórmula para la velocidad de un punto en un círculo: v = r * w, donde v es la velocidad de un punto en un círculo, r es el radio del círculo, w es el velocidad angular de rotación del círculo.
Primero, determinemos la velocidad angular del punto A ubicado en la manivela. Para ello utilizamos la fórmula para determinar la velocidad angular de un punto de la curva: w_A = w_OA * cos(alfa), donde w_OA es la velocidad angular de rotación de la manivela, alfa es el ángulo entre la manivela y el línea que pasa por el centro de rotación de la manivela y el punto A. Dado que la manivela gira con una velocidad angular de 4 rad/s y el ángulo alfa es de 90 grados, entonces la velocidad angular del punto A será igual a w_A = 4 * cos(90) = 0 rad/s.
Luego determinamos la velocidad del punto B ubicado en el engranaje 1. Para hacer esto, usamos la fórmula v_B = r1 * w1, donde r1 es el radio del engranaje 1, w1 es la velocidad angular de rotación del engranaje 1. Desde el engranaje 1 gira con una velocidad angular de 2 rad /s, entonces la velocidad del punto B será igual a v_B = 30 * 2 = 60 cm/s.
Finalmente, determinamos la velocidad angular del engranaje 2, que está engranado con el engranaje 1. Para hacer esto, usamos la fórmula para la velocidad en el engranaje interno: v2 = v1 * r1 / r2, donde v2 es la velocidad de los puntos en engranaje 2, r2 es el radio del engranaje 2. Dado que el engranaje 1 y la manivela giran independientemente uno del otro, la velocidad del punto B será igual a la velocidad del punto C ubicado en el engranaje 2. Por lo tanto, v2 = v_C = 60 cm/s. Sustituyendo los valores en la fórmula de velocidad con engranaje interno, obtenemos:
w2 = w1 * r1 / r2 w2 = 2 * 30 / r2 w2 = 60 / r2
Para encontrar la velocidad angular del engranaje 2, es necesario encontrar el valor de su radio r2. Para hacer esto, usamos la fórmula para la longitud del arco: l = r * alfa, donde l es la longitud del arco, alfa es el ángulo en radianes. Como la longitud de la manivela OA es de 20 cm, el ángulo con el que gira es alfa = 20/30 = 2/3 radianes.
Usando la fórmula para la longitud del arco, encontramos la longitud del arco circular en el que se encuentra el punto C:
l = r2 * alfa l = 2/3 * r2
También se sabe que la longitud del arco del engranaje 2, en el que se encuentra el punto C, es igual a la longitud del arco del engranaje 1, en el que se encuentra el punto B. Es decir:
l = r1 * delta, donde delta es el ángulo de engrane de los dientes del engranaje.
Así obtenemos:
2/3 * r2 = 30 * delta
Expresemos el ángulo de engrane de los engranajes a través del radio de la rueda 2:
delta = (2/3 * r2) / 30
Sustituyamos esta expresión en la fórmula de la velocidad angular del engranaje 2:
w2 = 60 / r2 = 2 * 30 / [(2/3 * r2) / 30]
Simplifiquemos la expresión:
w2 = 9 rad/s
Por tanto, la velocidad angular del engranaje 2 es 9 rad/s.
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Este producto es una solución al problema 9.2.11 de una colección de problemas de mecánica diferencial, escrita por O.?. Kepé. El problema describe un mecanismo diferencial con engranaje interno, que consta de engranaje 1, manivela OA y engranaje 2. El problema es determinar la velocidad angular del engranaje 2 con velocidades angulares conocidas del engranaje 1 y la manivela OA.
Para resolver el problema es necesario utilizar el radio de la rueda dentada 1, que es igual a 30 cm, y la longitud de la manivela OA, que es igual a 20 cm. De las condiciones del problema, las velocidades angulares Se conocen los tiempos de rotación de la rueda dentada 1 y de la manivela OA, que son iguales a 2 rad/s y 4 rad/s, respectivamente. Resolviendo las ecuaciones, puedes obtener la respuesta al problema, que es igual a 2 rad/s.
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