Solução para o problema 17.3.40 da coleção de Kepe O.E.

Tarefa 17.3.40:

Comprimento de uma haste homogênea: $l = 1$ m.

A haste é mantida em posição de equilíbrio horizontal por um fio e uma mola.

É necessário determinar a aceleração angular da haste no momento da ruptura do fio.

Resposta: $-29,4$.

A solução para este problema pode ser encontrada usando as leis da dinâmica e a lei de Hooke para uma mola.

Seja $m$ a massa da haste, $g$ a aceleração gravitacional, $T$ a tensão do fio, $k$ o coeficiente de rigidez da mola, $x$ o alongamento da mola, $\theta$ o ângulo formado pela haste e pela vertical.

A soma dos momentos das forças que atuam na haste em torno do ponto de suspensão é igual ao momento de inércia da haste multiplicado por sua aceleração angular: $$I\alpha = -mg\frac{l}{2}\sin\ theta,$$ onde $I = \ frac{1}{12}ml^2$ é o momento de inércia da haste em relação ao seu centro de massa.

A força de tensão do fio é direcionada ao longo da haste e cria um momento de força igual a $T\frac{l}{2}\sin\theta$.

A força da mola $F = kx$ é direcionada na direção oposta da extensão e cria um momento de força igual a $-kx\frac{l}{2}\sin\theta$.

A partir da equação de equilíbrio da barra: $$T\cos\theta - \frac{mg}{2} = 0,$$ podemos expressar a tensão do fio: $$T = \frac{mg}{2} \sec\teta.$ $

Da lei de Hooke para uma mola: $$kx = T,$$ podemos expressar o alongamento da mola: $$x = \frac{mg}{2k}\sec\theta.$$

Substituindo as expressões encontradas para $T$ e $x$ na equação do momento das forças, obtemos: $$I\alpha = -\frac{mg^2l}{4k}\sin\theta\cos\theta. $$

Assim, a aceleração angular da haste no momento em que o fio se rompe é igual a: $$\alpha = -\frac{g}{2}\tan\theta = -\frac{g}{2}\frac{\ sin\theta}{\ cos\theta} = -\frac{g}{2}\frac{2xk}{mg} = -\frac{g}{m}\frac{kg}{l}\cos\theta = -\frac{5g}{6l}\cos\theta.$$

Em $\theta = 0$ (posição horizontal da haste), a aceleração angular será zero.

Em $\theta = \frac{\pi}{2}$ (posição vertical da haste), a aceleração angular será máxima e igual a $-\frac{5}{6}gl \approx -29.4$ rad/ c$^2$.

Solução do problema 17.3.40 da coleção de Kepe O.?.

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Nesta solução você encontrará uma explicação detalhada de cada etapa da solução, as fórmulas e cálculos utilizados, bem como a resposta final do problema.

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O produto digital que você está adquirindo é uma solução detalhada para o problema 17.3.40 da coleção de problemas de física de Kepe O.?. Neste problema, é necessário determinar a aceleração angular de uma haste homogênea de 1 m de comprimento no momento da ruptura do fio, que a mantém em posição de equilíbrio horizontal com o auxílio de uma mola. A resposta para o problema é -29,4 rad/s^2.

A solução do problema é baseada nas leis da dinâmica e na lei de Hooke para uma mola. Para resolver o problema, foram introduzidas as seguintes notações: $m$ - massa da haste, $g$ - aceleração gravitacional, $T$ - tensão do fio, $k$ - coeficiente de rigidez da mola, $x$ - alongamento da mola, $\theta $ - o ângulo formado pela haste e pela vertical.

Os momentos de força que atuam na haste em torno do ponto de suspensão são iguais ao momento de inércia da haste multiplicado pela sua aceleração angular. Neste caso, a força de tensão do fio é direcionada ao longo da haste e cria um momento de força igual a $T\frac{l}{2}\sin\theta$, e a força da mola $F = kx$ é direcionada na direção oposta ao alongamento e cria um momento de força igual a $-kx\frac{l}{2}\sin\theta$.

A partir da equação de equilíbrio para uma haste pode-se expressar a tensão do fio, e da lei de Hooke para uma mola - o alongamento da mola. Substituindo as expressões encontradas para $T$ e $x$ na equação do momento das forças, obtemos a aceleração angular da haste no momento em que o fio se rompe.

Quando a haste está na posição horizontal, a aceleração angular é zero, e na posição vertical é máxima e igual a $-\frac{5}{6}gl \approx -29,4$ rad/s^2.

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Solução do problema 17.3.40 da coleção de Kepe O.?. consiste em determinar a aceleração angular de uma haste homogênea de 1 m de comprimento no momento da ruptura do fio, desde que mantida em posição de equilíbrio horizontal com o auxílio de um fio e uma mola. A resposta para o problema é -29,4.

Para resolver o problema, é necessário utilizar as leis da mecânica, em particular, a lei da conservação da energia e as equações de movimento de um corpo rígido. É necessário determinar as forças que atuam na haste no momento da ruptura do fio e calcular a aceleração angular utilizando as fórmulas da mecânica.

Para resolver o problema com mais detalhes, é necessário ter dados adicionais, como a massa da haste, os coeficientes de elasticidade da mola e da rosca, seus comprimentos e outros parâmetros. Sem estes dados é impossível dar uma descrição mais precisa da solução do problema.

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