Solution au problème 17.3.40 de la collection Kepe O.E.

Tâche 17.3.40 :

Longueur d'une tige homogène : $l = 1$ m.

La tige est maintenue en position d'équilibre horizontale par un filetage et un ressort.

Il est nécessaire de déterminer l'accélération angulaire de la tige au moment de la rupture du filetage.

Réponse : $-29,4$.

La solution à ce problème peut être trouvée en utilisant les lois de la dynamique et la loi de Hooke pour un ressort.

Soit $m$ la masse de la tige, $g$ l'accélération gravitationnelle, $T$ la tension du fil, $k$ le coefficient de raideur du ressort, $x$ l'allongement du ressort, $\theta$ l'angle formé par la tige et la verticale.

La somme des moments de forces agissant sur la tige autour du point de suspension est égale au moment d'inertie de la tige multiplié par son accélération angulaire : $$I\alpha = -mg\frac{l}{2}\sin\ theta,$$ où $I = \ frac{1}{12}ml^2$ est le moment d'inertie de la tige par rapport à son centre de masse.

La force de tension du fil est dirigée le long de la tige et crée un moment de force égal à $T\frac{l}{2}\sin\theta$.

La force du ressort $F = kx$ est dirigée dans la direction opposée à l'extension et crée un moment de force égal à $-kx\frac{l}{2}\sin\theta$.

A partir de l'équation d'équilibre de la tige : $$T\cos\theta - \frac{mg}{2} = 0,$$ on peut exprimer la tension du fil : $$T = \frac{mg}{2} \sec\thêta.$ $

A partir de la loi de Hooke pour un ressort : $$kx = T,$$ on peut exprimer l'allongement du ressort : $$x = \frac{mg}{2k}\sec\theta.$$

En substituant les expressions trouvées pour $T$ et $x$ dans l'équation du moment des forces, nous obtenons : $$I\alpha = -\frac{mg^2l}{4k}\sin\theta\cos\theta. $$

Ainsi, l'accélération angulaire de la tige au moment de la rupture du filetage est égale à : $$\alpha = -\frac{g}{2}\tan\theta = -\frac{g}{2}\frac{\ sin\theta}{\ cos\theta} = -\frac{g}{2}\frac{2xk}{mg} = -\frac{g}{m}\frac{kg}{l}\cos\theta = -\frac{5g }{6l}\cos\theta.$$

À $\theta = 0$ (position horizontale de la tige), l'accélération angulaire sera nulle.

A $\theta = \frac{\pi}{2}$ (position verticale de la tige), l'accélération angulaire sera maximale et égale à $-\frac{5}{6}gl \approx -29.4$ rad/ c$^2$.

Solution au problème 17.3.40 de la collection Kepe O.?.

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Dans cette solution vous trouverez une explication détaillée de chaque étape de la solution, les formules et calculs utilisés, ainsi que la réponse finale au problème.

Ce produit convient aussi bien aux étudiants qui étudient la physique dans une université ou un collège qu'aux écoliers qui se préparent aux olympiades ou aux examens.

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Le produit numérique que vous achetez est une solution détaillée au problème 17.3.40 de la collection de problèmes de physique de Kepe O.?. Dans ce problème, il faut déterminer l'accélération angulaire d'une tige homogène de 1 m de long au moment de la rupture du fil, qui la maintient dans une position d'équilibre horizontale à l'aide d'un ressort. La réponse au problème est -29,4 rad/s^2.

La solution au problème repose sur les lois de la dynamique et la loi de Hooke pour un ressort. Pour résoudre le problème, les notations suivantes ont été introduites : $m$ - masse de la tige, $g$ - accélération gravitationnelle, $T$ - tension du fil, $k$ - coefficient de rigidité du ressort, $x$ - allongement du ressort, $\theta $ - l'angle formé par la tige et la verticale.

Les moments de force agissant sur la tige autour du point de suspension sont égaux au moment d'inertie de la tige multiplié par son accélération angulaire. Dans ce cas, la force de tension du fil est dirigée le long de la tige et crée un moment de force égal à $T\frac{l}{2}\sin\theta$, et la force du ressort $F = kx$ est dirigée dans la direction opposée à l'allongement et crée un moment de force égal à $-kx\frac{l}{2}\sin\theta$.

À partir de l'équation d'équilibre d'une tige, on peut exprimer la tension du fil, et de la loi de Hooke pour un ressort, l'allongement du ressort. En substituant les expressions trouvées pour $T$ et $x$ dans l'équation du moment des forces, nous obtenons l'accélération angulaire de la tige au moment de la rupture du filetage.

Lorsque la tige est en position horizontale, l'accélération angulaire est nulle, et lorsqu'elle est verticale, elle est maximale et égale à $-\frac{5}{6}gl \approx -29,4$ rad/s^2.

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Solution au problème 17.3.40 de la collection Kepe O.?. consiste à déterminer l'accélération angulaire d'une tige homogène de 1 m de long au moment de la rupture du fil, à condition qu'elle soit maintenue en position d'équilibre horizontale à l'aide d'un fil et d'un ressort. La réponse au problème est -29,4.

Pour résoudre le problème, il faut utiliser les lois de la mécanique, notamment la loi de conservation de l'énergie et les équations du mouvement d'un corps rigide. Il est nécessaire de déterminer les forces agissant sur la tige au moment de la rupture du filetage et de calculer l'accélération angulaire à l'aide des formules de la mécanique.

Pour résoudre le problème plus en détail, il est nécessaire de disposer de données supplémentaires, telles que la masse de la tige, les coefficients d'élasticité du ressort et du filetage, leurs longueurs et d'autres paramètres. Sans ces données, il est impossible de donner une description plus précise de la solution au problème.

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