Soluzione al problema 17.3.40 dalla collezione di Kepe O.E.

Compito 17.3.40:

Lunghezza di un'asta omogenea: $l = 1$ m.

L'asta è mantenuta in posizione di equilibrio orizzontale da un filo e da una molla.

È necessario determinare l'accelerazione angolare dell'asta nel momento in cui il filo si rompe.

Risposta: $-29,4$.

La soluzione a questo problema può essere trovata utilizzando le leggi della dinamica e la legge di Hooke per la molla.

Sia $m$ la massa dell'asta, $g$ l'accelerazione gravitazionale, $T$ la tensione del filo, $k$ il coefficiente di rigidezza della molla, $x$ l'allungamento della molla, $\theta$ l'angolo formato dall'asta e dalla verticale.

La somma dei momenti di forza agenti sull'asta attorno al punto di sospensione è pari al momento d'inerzia dell'asta moltiplicato per la sua accelerazione angolare: $$I\alpha = -mg\frac{l}{2}\sin\ theta,$$ dove $I = \ frac{1}{12}ml^2$ è il momento di inerzia dell'asta rispetto al suo centro di massa.

La forza di tensione del filo è diretta lungo l'asta e crea un momento di forza pari a $T\frac{l}{2}\sin\theta$.

La forza della molla $F = kx$ è diretta nella direzione opposta all'estensione e crea un momento di forza pari a $-kx\frac{l}{2}\sin\theta$.

Dall'equazione di equilibrio dell'asta: $$T\cos\theta - \frac{mg}{2} = 0,$$ possiamo esprimere la tensione del filo: $$T = \frac{mg}{2} \sec\theta.$ $

Dalla legge di Hooke per una molla: $$kx = T,$$ possiamo esprimere l'allungamento della molla: $$x = \frac{mg}{2k}\sec\theta.$$

Sostituendo le espressioni trovate per $T$ e $x$ nell'equazione del momento delle forze, otteniamo: $$I\alpha = -\frac{mg^2l}{4k}\sin\theta\cos\theta. $$

Pertanto, l'accelerazione angolare dell'asta nel momento in cui il filo si rompe è pari a: $$\alpha = -\frac{g}{2}\tan\theta = -\frac{g}{2}\frac{\ sin\theta}{\ cos\theta} = -\frac{g}{2}\frac{2xk}{mg} = -\frac{g}{m}\frac{kg}{l}\cos\theta = -\frac{5g }{6l}\cos\theta.$$

A $\theta = 0$ (posizione orizzontale dell'asta), l'accelerazione angolare sarà zero.

A $\theta = \frac{\pi}{2}$ (posizione verticale dell'asta), l'accelerazione angolare sarà massima e pari a $-\frac{5}{6}gl \circa -29,4$ rad/ c$^2$.

Soluzione al problema 17.3.40 dalla collezione di Kepe O.?.

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In questa soluzione troverai una spiegazione dettagliata di ogni passaggio della soluzione, le formule e i calcoli utilizzati, nonché la risposta finale al problema.

Questo prodotto è adatto agli studenti che studiano fisica all'università o al college, nonché agli scolari che si preparano per le olimpiadi o gli esami.

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Il prodotto digitale che stai acquistando è una soluzione dettagliata al problema 17.3.40 dalla raccolta di problemi di fisica di Kepe O.?. In questo problema è necessario determinare l'accelerazione angolare di un'asta omogenea lunga 1 m nel momento in cui si rompe il filo, che la mantiene in posizione di equilibrio orizzontale con l'aiuto di una molla. La risposta al problema è -29,4 rad/s^2.

La soluzione al problema si basa sulle leggi della dinamica e sulla legge di Hooke per la molla. Per risolvere il problema sono state introdotte le seguenti notazioni: $m$ - massa dell'asta, $g$ - accelerazione gravitazionale, $T$ - tensione del filo, $k$ - coefficiente di rigidezza della molla, $x$ - allungamento della molla, $\theta $ - l'angolo formato dall'asta e dalla verticale.

I momenti di forza agenti sull'asta attorno al punto di sospensione sono pari al momento di inerzia dell'asta moltiplicato per la sua accelerazione angolare. In questo caso la forza di tensione del filo è diretta lungo l'asta e crea un momento di forza pari a $T\frac{l}{2}\sin\theta$, e la forza della molla $F = kx$ è diretta nella direzione opposta all'allungamento e crea un momento di forza pari a $-kx\frac{l}{2}\sin\theta$.

Dall'equazione di equilibrio per un'asta si può esprimere la tensione del filo e dalla legge di Hooke per una molla - l'allungamento della molla. Sostituendo nell'equazione del momento delle forze le espressioni trovate per $T$ e $x$, otteniamo l'accelerazione angolare dell'asta nel momento in cui il filo si rompe.

Quando l'asta è in posizione orizzontale, l'accelerazione angolare è zero, mentre in posizione verticale è massima e pari a $-\frac{5}{6}gl \circa -29,4$ rad/s^2.

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Soluzione al problema 17.3.40 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare l'accelerazione angolare di un'asta omogenea lunga 1 m nel momento in cui si rompe il filo, purché mantenuta in posizione di equilibrio orizzontale con l'aiuto di un filo e di una molla. La risposta al problema è -29.4.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare le leggi della meccanica, in particolare la legge di conservazione dell'energia e le equazioni del moto di un corpo rigido. È necessario determinare le forze che agiscono sull'asta nel momento in cui il filo si rompe e calcolare l'accelerazione angolare utilizzando le formule della meccanica.

Per risolvere il problema in modo più dettagliato è necessario disporre di dati aggiuntivi, come la massa dell'asta, i coefficienti di elasticità della molla e del filo, le loro lunghezze e altri parametri. Senza questi dati è impossibile fornire una descrizione più accurata della soluzione al problema.

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