Um ponto material participa simultaneamente em dois harmônicos

Um ponto material participa de duas oscilações harmônicas ao longo de uma linha reta. As equações de vibração correspondentes são escritas em unidades SI como x1=0,1cosP*t/2 e x2=0,12cosP(t+1)/2. É necessário determinar a equação das oscilações resultantes.

Tarefa 40717. Responder:

As equações de oscilações de um ponto material são escritas na forma:

x1=0,1cosП*t/2

x2=0,12cosП(t+1)/2

Aqui x1 e x2 são as amplitudes das oscilações, P é o período das oscilações, t é o tempo.

Para determinar as oscilações resultantes, é necessário somar as equações x1 e x2:

x=x1+x2=0,1cosП*t/2+0,12cosП(t+1)/2

x=0,1cosП*t/2+0,12cos(Пt/2+П/2)

Usando a fórmula da soma de dois cossenos, obtemos:

x=0,1cosПt/2+0,12cosП/2cosПt/2-0,12sinП/2*sinПt/2

x=0,1cosП*t/2+0,12sin(Пt/2+П/6)

Assim, a equação das oscilações resultantes é escrita como:

x=0,1cosП*t/2+0,12sin(Пt/2+П/6)

Resposta: x=0,1cosP*t/2+0,12sin(Pt/2+P/6).

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Este produto é o problema 40717, que requer a determinação da equação das oscilações resultantes de um ponto material participando simultaneamente de duas oscilações harmônicas. As equações dos termos de vibração são dadas na forma x1=0,1cosP*t/2 e x2=0,12cosP(t+1)/2 em unidades SI.

Para encontrar a equação das oscilações resultantes, é necessário somar as equações dessas oscilações harmônicas. Para fazer isso, você pode usar a fórmula para adicionar vibrações harmônicas, que diz:

Acos(ωt+φ) + Bcos(ωt+φ) = C*cos(ωt+φ),

onde A e B são as amplitudes das oscilações, ω é a frequência angular, t é o tempo, φ é a fase inicial, C é a amplitude da oscilação resultante.

Aplicando esta fórmula às equações dos termos de vibração, obtemos:

x1 = 0,1cos(Пt/2) x2 = 0,12cos(П(t+1)/2)

x1 e x2 têm a mesma fase inicial, igual a zero. Então a soma das oscilações terá uma amplitude igual à raiz da soma dos quadrados das amplitudes dos componentes das oscilações:

C = √(A^2 + B^2)

A frequência angular da vibração resultante pode ser encontrada usando a expressão:

ω = (ω1 + ω2)/2

onde ω1 e ω2 são as frequências angulares dos componentes de vibração.

Assim, a equação das oscilações resultantes tem a forma:

x = √(0,1^2 + 0,12^2) * cos(Пt/2 + arctan(0,12/0,1)/2)

onde arctan(0,12/0,1) é o arco tangente da razão das amplitudes dos componentes de vibração.

Resposta: x = 0,16cos(Pt/2 + 0,1095) em unidades do SI.

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