Un point matériel participe simultanément à deux harmoniques

Un point matériel participe à deux oscillations harmoniques le long d’une ligne droite. Les équations de vibration correspondantes sont écrites en unités SI sous la forme x1=0,1cosP*t/2 et x2=0,12cosP(t+1)/2. Il est nécessaire de déterminer l'équation des oscillations résultantes.

Tâche 40717. Répondre:

Les équations d'oscillations d'un point matériel s'écrivent sous la forme :

x1=0,1cosП*t/2

x2=0,12cosП(t+1)/2

Ici x1 et x2 sont les amplitudes des oscillations, P est la période des oscillations, t est le temps.

Pour déterminer les oscillations résultantes, il faut additionner les équations x1 et x2 :

x=x1+x2=0,1cosП*t/2+0,12cosП(t+1)/2

x=0,1cosП*t/2+0,12cos(Пt/2+П/2)

En utilisant la formule de la somme de deux cosinus, on obtient :

x=0,1cosПt/2+0,12cosП/2cosПt/2-0,12sinП/2*sinПt/2

x=0,1cosП*t/2+0,12sin(Пt/2+П/6)

UNinsi, l’équation des oscillations résultantes s’écrit :

x=0,1cosП*t/2+0,12sin(Пt/2+П/6)

Réponse : x=0,1cosP*t/2+0,12sin(Pt/2+P/6).

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Ce produit est le problème 40717, qui nécessite de déterminer l'équation des oscillations résultantes d'un point matériel participant simultanément à deux oscillations harmoniques. Les équations des termes de vibration sont données sous la forme x1=0,1cosP*t/2 et x2=0,12cosP(t+1)/2 en unités SI.

Pour trouver l'équation des oscillations résultantes, il faut additionner les équations de ces oscillations harmoniques. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule d'ajout de vibrations harmoniques, qui s'écrit :

Acos(ωt+φ) + Bcos(ωt+φ) = C*cos(ωt+φ),

où A et B sont les amplitudes des oscillations, ω est la fréquence angulaire, t est le temps, φ est la phase initiale, C est l'amplitude de l'oscillation résultante.

En appliquant cette formule aux équations des termes vibratoires, on obtient :

x1 = 0,1cos(Пt/2) x2 = 0,12cos(П(t+1)/2)

x1 et x2 ont la même phase initiale, égale à zéro. Alors la somme des oscillations aura une amplitude égale à la racine de la somme des carrés des amplitudes des composantes des oscillations :

C = √(A^2 + B^2)

La fréquence angulaire de la vibration résultante peut être trouvée à l'aide de l'expression :

ω = (ω1 + ω2) / 2

où ω1 et ω2 sont les fréquences angulaires des composants vibratoires.

Ainsi, l'équation des oscillations résultantes a la forme :

x = √(0,1^2 + 0,12^2) * cos(Пt/2 + arctan(0,12/0,1)/2)

où arctan(0,12/0,1) est l'arctangente du rapport des amplitudes des composantes vibratoires.

Réponse : x = 0,16cos(Pt/2 + 0,1095) en unités SI.

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