物質点は 2 つの高調波に同時に関与します

物質点は 1 つの直線に沿った 2 つの調和振動に関与します。対応する振動方程式は、SI 単位で x1=0.1cosP*t/2 および x2=0.12cosP(t+1)/2 として記述されます。結果として生じる振動の方程式を決定する必要があります。

タスク 40717。答え：

質点の振動方程式は次の形式で記述されます。

x1=0,1cosП*t/2

x2=0,12cosП(t+1)/2

ここで、x1 と x2 は振動の振幅、P は振動の周期、t は時間です。

結果として生じる振動を決定するには、方程式 x1 と x2 を追加する必要があります。

x=x1+x2=0,1cosП*t/2+0,12cosП(t+1)/2

x=0,1cosП*t/2+0,12cos(Пt/2+П/2)

2 つのコサインの合計の公式を使用すると、次のようになります。

x=0,1cosПt/2+0,12cosП/2cosПt/2-0,12sinП/2*sinПt/2

x=0,1cosП*t/2+0,12sin(Пt/2+П/6)

したがって、結果として生じる振動の方程式は次のように記述されます。

x=0,1cosП*t/2+0,12sin(Пt/2+П/6)

答え: x=0.1cosP*t/2+0.12sin(Pt/2+P/6)。

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この積は問題 40717 であり、2 つの調和振動に同時に関与する質点の結果として生じる振動の方程式を決定する必要があります。振動項の方程式は、SI 単位で x1=0.1cosP*t/2 および x2=0.12cosP(t+1)/2 の形式で与えられます。

結果として生じる振動の方程式を見つけるには、これらの調和振動の方程式を追加する必要があります。これを行うには、次のような調和振動を追加するための公式を使用できます。

あcos(ωt+φ) + Bcos(ωt+φ) = C*cos(ωt+φ)、

ここで、A と B は振動の振幅、ω は角周波数、t は時間、φ は初期位相、C は結果として生じる振動の振幅です。

この式を振動項の方程式に適用すると、次のようになります。

x1 = 0.1cos(Пt/2) x2 = 0.12cos(П(t+1)/2)

x1 と x2 は同じ初期位相を持ち、ゼロに等しい。この場合、振動の合計の振幅は、振動の成分の振幅の二乗和の根に等しくなります。

C = √(A^2 + B^2)

結果として生じる振動の角周波数は、次の式を使用して求めることができます。

ω = (ω1 + ω2) / 2

ここで、ω1 と ω2 は振動成分の角周波数です。

したがって、結果として生じる振動の方程式は次の形式になります。

x = √(0.1^2 + 0.12^2) * cos(Пt/2 + arctan(0.12/0.1)/2)

ここで、arctan(0.12/0.1) は、振動成分の振幅比の逆正接です。

答え: x = 0.16cos(Pt/2 + 0.1095) (SI 単位)。

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