Soluzione al problema 20.5.1 dalla collezione di Kepe O.E.

In questo problema è necessario trovare l'accelerazione angolare di un sistema meccanico nell'istante in cui la coordinata generalizzata φ è pari a 8 rad.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare le equazioni di Lagrange del secondo tipo:

d/dt(dL/d(dφ))-dL/dφ=Qφ

dove L è la Lagrangiana del sistema, Qφ è la forza generalizzata, dL/d(dφ) è la derivata parziale della Lagrangiana rispetto alla velocità generalizzata, dL/dφ è la derivata parziale della Lagrangiana rispetto alla velocità generalizzata coordinata.

Per prima cosa troviamo la derivata parziale della Lagrangiana rispetto alla velocità generalizzata:

dL/d(dφ) = d/dt(∂L/∂(dφ)) = d/dt(mr^2dφ/dt) = mr^2d^2φ/dt^2

dove m è la massa, r è il raggio.

Troviamo poi la derivata parziale della Lagrangiana rispetto alla coordinata generalizzata:

dL/dφ = ∂L/∂φ = d/dt(∂L/∂(dφ)) = d/dt(mr^2dφ/dt) = mr^2d^2φ/dt^2

Ora troviamo la forza generalizzata:

Qφ = 16 - φ

Sostituendo i valori ottenuti nelle equazioni di Lagrange, otteniamo:

mr^2d^2φ/dt^2 - (16 - φ) = 0

A φ = 8 rad l'equazione assumerà la forma:

signor^2d^2φ/dt^2 - 8 = 0

Da qui troviamo l'accelerazione angolare:

d^2φ/dt^2 = 8/mr^2 = 0,5

Pertanto, l'accelerazione angolare del sistema meccanico nel momento in cui φ = 8 rad è pari a 0,5.

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Soluzione al problema 20.5.1 dalla collezione di Kepe O.?. è associato alla determinazione dell'accelerazione angolare di un sistema meccanico nell'istante in cui la coordinata generalizzata φ è pari a 8 radianti. È noto che l'energia cinetica del sistema T è pari a 8φ^2, e la forza generalizzata Qφ è pari a 16 - φ.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare l’equazione del moto del sistema meccanico:

Qφ = d/dt(dT/dφ) - dT/dφ

dove d/dt è la derivata rispetto al tempo, dT/dφ è la derivata dell'energia cinetica rispetto alla coordinata generalizzata.

Calcoliamo le derivate:

dT/dφ = 16φ d/dt(dT/dφ) = 16(dφ/dt)

Sostituiamo nell'equazione del moto e troviamo l'accelerazione angolare:

16 - φ = 16(dφ/dt) - 16φ/8

16 - 8φ = 16(dφ/dt) - 2φ

16 - 8 = 16(dφ/dt) - 2*8

dφ/dt = 0,5 rad/s^2

Pertanto, l'accelerazione angolare del sistema meccanico nel momento in cui φ = 8 radianti è pari a 0,5 radianti al quadrato per secondo al quadrato.

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