Lösung für Aufgabe 20.5.1 aus der Sammlung von Kepe O.E.

Bei diesem Problem ist es erforderlich, die Winkelbeschleunigung eines mechanischen Systems zu dem Zeitpunkt zu ermitteln, zu dem die verallgemeinerte Koordinate φ gleich 8 rad ist.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Lagrange-Gleichungen zweiter Art zu verwenden:

d/dt(dL/d(dφ))-dL/dφ=Qφ

wobei L der Lagrange-Operator des Systems ist, Qφ die verallgemeinerte Kraft ist, dL/d(dφ) die partielle Ableitung des Lagrange-Operators in Bezug auf die verallgemeinerte Geschwindigkeit ist, dL/dφ die partielle Ableitung des Lagrange-Operators in Bezug auf die verallgemeinerte Geschwindigkeit ist Koordinate.

Lassen Sie uns zunächst die partielle Ableitung des Lagrange-Operators nach der verallgemeinerten Geschwindigkeit ermitteln:

dL/d(dφ) = d/dt(∂L/∂(dφ)) = d/dt(mr^2dφ/dt) = mr^2d^2φ/dt^2

Dabei ist m die Masse und r der Radius.

Dann finden wir die partielle Ableitung des Lagrange-Operators nach der verallgemeinerten Koordinate:

dL/dφ = ∂L/∂φ = d/dt(∂L/∂(dφ)) = d/dt(mr^2dφ/dt) = mr^2d^2φ/dt^2

Finden wir nun die verallgemeinerte Kraft:

Qφ = 16 - φ

Wenn wir die erhaltenen Werte in die Lagrange-Gleichungen einsetzen, erhalten wir:

mr^2d^2φ/dt^2 - (16 - φ) = 0

Bei φ = 8 rad nimmt die Gleichung die Form an:

mr^2d^2φ/dt^2 - 8 = 0

Daraus ermitteln wir die Winkelbeschleunigung:

d^2φ/dt^2 = 8/mr^2 = 0,5

Somit ist die Winkelbeschleunigung des mechanischen Systems zum Zeitpunkt φ = 8 rad gleich 0,5.

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Lösung zu Aufgabe 20.5.1 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist mit der Bestimmung der Winkelbeschleunigung eines mechanischen Systems zu dem Zeitpunkt verbunden, zu dem die verallgemeinerte Koordinate φ gleich 8 Bogenmaß ist. Es ist bekannt, dass die kinetische Energie des Systems T gleich 8φ^2 ist und die verallgemeinerte Kraft Qφ gleich 16 - φ ist.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Bewegungsgleichung des mechanischen Systems zu verwenden:

Qφ = d/dt(dT/dφ) – dT/dφ

Dabei ist d/dt die Ableitung nach der Zeit, dT/dφ die Ableitung der kinetischen Energie nach der verallgemeinerten Koordinate.

Wir berechnen Derivate:

dT/dφ = 16φ d/dt(dT/dφ) = 16(dφ/dt)

Wir setzen in die Bewegungsgleichung ein und ermitteln die Winkelbeschleunigung:

16 - φ = 16(dφ/dt) - 16φ/8

16 - 8φ = 16(dφ/dt) - 2φ

16 - 8 = 16(dφ/dt) - 2*8

dφ/dt = 0,5 rad/s^2

Somit beträgt die Winkelbeschleunigung des mechanischen Systems zum Zeitpunkt φ = 8 Bogenmaß 0,5 Bogenmaß im Quadrat pro Sekunde im Quadrat.

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