Solution au problème 20.5.1 de la collection Kepe O.E.

Dans ce problème, il est nécessaire de trouver l'accélération angulaire d'un système mécanique au moment où la coordonnée généralisée φ est égale à 8 rad.

Pour résoudre le problème, il faut utiliser les équations de Lagrange du deuxième type :

d/dt(dL/d(dφ))-dL/dφ=Qφ

où L est le lagrangien du système, Qφ est la force généralisée, dL/d(dφ) est la dérivée partielle du lagrangien par rapport à la vitesse généralisée, dL/dφ est la dérivée partielle du lagrangien par rapport au lagrangien généralisé coordonner.

Tout d'abord, trouvons la dérivée partielle du lagrangien par rapport à la vitesse généralisée :

dL/d(dφ) = d/dt(∂L/∂(dφ)) = d/dt(mr^2dφ/dt) = mr^2d^2φ/dt^2

où m est la masse, r est le rayon.

On trouve ensuite la dérivée partielle du lagrangien par rapport à la coordonnée généralisée :

dL/dφ = ∂L/∂φ = d/dt(∂L/∂(dφ)) = d/dt(mr^2dφ/dt) = mr^2d^2φ/dt^2

Trouvons maintenant la force généralisée :

Qφ = 16 - φ

En substituant les valeurs obtenues dans les équations de Lagrange, on obtient :

mr^2d^2φ/dt^2 - (16 - φ) = 0

À φ = 8 rad l'équation prendra la forme :

mr^2d^2φ/dt^2 - 8 = 0

De là on trouve l'accélération angulaire :

d^2φ/dt^2 = 8/mr^2 = 0,5

Ainsi, l'accélération angulaire du système mécanique à l'instant où φ = 8 rad est égale à 0,5.

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Solution au problème 20.5.1 de la collection de Kepe O.?. est associé à la détermination de l'accélération angulaire d'un système mécanique à l'instant où la coordonnée généralisée φ est égale à 8 radians. On sait que l'énergie cinétique du système T est égale à 8φ^2 et que la force généralisée Qφ est égale à 16 - φ.

Pour résoudre le problème, il faut utiliser l'équation du mouvement du système mécanique :

Qφ = d/dt(dT/dφ) - dT/dφ

où d/dt est la dérivée par rapport au temps, dT/dφ est la dérivée de l'énergie cinétique par rapport à la coordonnée généralisée.

Nous calculons les dérivées :

dT/dφ = 16φ d/dt(dT/dφ) = 16(dφ/dt)

Nous substituons l'équation du mouvement et trouvons l'accélération angulaire :

16 - φ = 16(dφ/dt) - 16φ/8

16 - 8φ = 16(dφ/dt) - 2φ

16 - 8 = 16(dφ/dt) - 2*8

dφ/dt = 0,5 rad/s^2

Ainsi, l'accélération angulaire du système mécanique au moment où φ = 8 radians est égale à 0,5 radians carré par seconde carrée.

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