Soluzione al problema 20.2.12 dalla collezione di Kepe O.E.

20.2.12. In questa trasmissione per attrito ci sono tre ruote: 1, 2 e 3. Alle ruote 1 e 3 vengono applicate coppie di forze con momenti M1 = 15 N • me M3 = 5 N • m. Per determinare la forza generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata selezionata - l'angolo di rotazione della ruota 1, è necessario tenere conto dei raggi R1 = 0,3 me R3 = 0,5 m La risposta a questo problema è 12.

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Soluzione al problema 20.2.12 dalla collezione di Kepe O.?.:

In questo problema è necessario determinare la forza generalizzata corrispondente all'angolo di rotazione della ruota 1 in una trasmissione ad attrito composta dalle ruote 1, 2 e 3. I momenti di forza applicati alle ruote 1 e 3, nonché i loro raggi , sono conosciuti.

Per risolvere il problema utilizzeremo le equazioni di Carnot. La prima equazione di Carnot per la ruota 1 ha la forma:

M1 = I1 * φ''1 + f12 * R2 * R1,

dove I1 è il momento d'inerzia della ruota 1, φ''1 è l'accelerazione angolare della ruota 1, f12 è la forza di attrito nel punto di contatto delle ruote 1 e 2, R1 e R2 sono i raggi delle ruote 1 e 2 , rispettivamente.

La seconda equazione di Carnot per la ruota 3 è:

M3 = I3 * φ''3 + f32 * R2 * R3,

dove I3 è il momento d'inerzia della ruota 3, φ''3 è l'accelerazione angolare della ruota 3, f32 è la forza di attrito nel punto di contatto delle ruote 3 e 2, R3 è il raggio della ruota 3.

Poiché la ruota 2 non gira, la sua accelerazione angolare è zero: φ''2 = 0.

Inoltre la velocità del punto di contatto delle ruote 1 e 2 è uguale alla velocità del punto di contatto delle ruote 3 e 2: v12 = v32. Poiché v = R * φ', dove R è il raggio della ruota e φ' è la velocità angolare, otteniamo:

R1 * φ'1 = R2 * φ'2,

R3 * φ'3 = R2 * φ'2.

Ne consegue che:

R1 * φ'1 = R3 * φ'3.

Esprimiamo la forza di attrito f12 dalla prima equazione di Carnot:

f12 = (M1 - I1 * φ''1) / (R2 * R1).

Allo stesso modo, dalla seconda equazione di Carnot esprimiamo la forza di attrito f32:

f32 = (M3 - I3 * φ''3) / (R2 * R3).

Sostituiamo le espressioni ottenute per le forze di attrito nell'equazione per la velocità del punto di contatto delle ruote 1 e 2:

f12 = f32 + F,

dove F è la forza generalizzata desiderata corrispondente all'angolo di rotazione della ruota 1.

Dall'equazione risultante troviamo la forza richiesta F:

F = (M1 / R1 - M3 / R3) - (I1 / (R1 * R2) * φ''1 - I3 / (R2 * R3) * φ''3).

Sostituiamo i valori delle condizioni problematiche:

F = (15 / 0,3 - 5 / 0,5) - (0 / (0,3 * R2) - 0 / (R2 * 0,5)) = 12.

Risposta: 12.

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