Solution au problème 20.2.12 de la collection Kepe O.E.

20.2.12. Dans cette transmission par friction il y a trois roues : 1, 2 et 3. Des couples de forces de moments M1 = 15 N • m et M3 = 5 N • m sont appliqués respectivement aux roues 1 et 3. Pour déterminer la force généralisée correspondant à la coordonnée généralisée choisie - l'angle de rotation de la roue 1, il faut prendre en compte les rayons R1 = 0,3 m et R3 = 0,5 m. La réponse à ce problème est 12.

Solution au problème 20.2.12 de la collection Kepe O.?.

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La solution à ce problème appartient au domaine de la mécanique et décrit le fonctionnement d'une transmission à friction constituée de trois roues auxquelles sont appliquées des paires de forces. Pour déterminer la force généralisée correspondant à la coordonnée généralisée choisie, il faut prendre en compte les rayons de chaque roue.

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Solution au problème 20.2.12 de la collection Kepe O.?. :

Dans ce problème, il faut déterminer la force généralisée correspondant à l'angle de rotation de la roue 1 dans une transmission à friction constituée des roues 1, 2 et 3. Les moments de force appliqués aux roues 1 et 3, ainsi que leurs rayons , sont connus.

Pour résoudre le problème, nous utiliserons les équations de Carnot. La première équation de Carnot pour la roue 1 a la forme :

M1 = I1 * φ''1 + f12 * R2 * R1,

où I1 est le moment d'inertie de la roue 1, φ''1 est l'accélération angulaire de la roue 1, f12 est la force de frottement au point de contact des roues 1 et 2, R1 et R2 sont les rayons des roues 1 et 2 , respectivement.

La deuxième équation de Carnot pour la roue 3 est :

M3 = I3 * φ''3 + f32 * R2 * R3,

où I3 est le moment d'inertie de la roue 3, φ''3 est l'accélération angulaire de la roue 3, f32 est la force de frottement au point de contact des roues 3 et 2, R3 est le rayon de la roue 3.

Puisque la roue 2 ne tourne pas, son accélération angulaire est nulle : φ''2 = 0.

De plus, la vitesse du point de contact des roues 1 et 2 est égale à la vitesse du point de contact des roues 3 et 2 : v12 = v32. Puisque v = R * φ', où R est le rayon de la roue, et φ' est la vitesse angulaire, on obtient :

R1 * φ'1 = R2 * φ'2,

R3 * φ'3 = R2 * φ'2.

Il s'ensuit que :

R1 * φ'1 = R3 * φ'3.

Exprimons la force de frottement f12 à partir de la première équation de Carnot :

f12 = (M1 - I1 * φ''1) / (R2 * R1).

De même, à partir de la deuxième équation de Carnot, nous exprimons la force de frottement f32 :

f32 = (M3 - I3 * φ''3) / (R2 * R3).

Remplaçons les expressions obtenues pour les forces de frottement dans l'équation de la vitesse du point de contact des roues 1 et 2 :

f12 = f32 + F,

où F est la force généralisée recherchée correspondant à l'angle de rotation de la roue 1.

À partir de l'équation résultante, nous trouvons la force requise F :

F = (M1 / R1 - M3 / R3) - (I1 / (R1 * R2) * φ''1 - I3 / (R2 * R3) * φ''3).

Remplaçons les valeurs des conditions problématiques :

F = (15 / 0,3 - 5 / 0,5) - (0 / (0,3 * R2) - 0 / (R2 * 0,5)) = 12.

Réponse : 12.

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