Solución al problema 20.2.12 de la colección de Kepe O.E.

20.2.12. En esta transmisión por fricción hay tres ruedas: 1, 2 y 3. Se aplican pares de fuerzas con momentos M1 = 15 N • my M3 = 5 N • m a las ruedas 1 y 3, respectivamente. Para determinar la fuerza generalizada correspondiente a la coordenada generalizada seleccionada: el ángulo de rotación de la rueda 1, es necesario tener en cuenta los radios R1 = 0,3 my R3 = 0,5 m. La respuesta a este problema es 12.

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Solución al problema 20.2.12 de la colección de Kepe O.?.:

En este problema, es necesario determinar la fuerza generalizada correspondiente al ángulo de rotación de la rueda 1 en una transmisión por fricción formada por las ruedas 1, 2 y 3. Los momentos de fuerza aplicados a las ruedas 1 y 3, así como sus radios. , son conocidos.

Para resolver el problema usaremos las ecuaciones de Carnot. La primera ecuación de Carnot para la rueda 1 tiene la forma:

M1 = I1 * φ''1 + f12 * R2 * R1,

donde I1 es el momento de inercia de la rueda 1, φ''1 es la aceleración angular de la rueda 1, f12 es la fuerza de fricción en el punto de contacto de las ruedas 1 y 2, R1 y R2 son los radios de las ruedas 1 y 2 , respectivamente.

La segunda ecuación de Carnot para la rueda 3 es:

M3 = I3 * φ''3 + f32 * R2 * R3,

donde I3 es el momento de inercia de la rueda 3, φ''3 es la aceleración angular de la rueda 3, f32 es la fuerza de fricción en el punto de contacto de las ruedas 3 y 2, R3 es el radio de la rueda 3.

Como la rueda 2 no gira, su aceleración angular es cero: φ''2 = 0.

Además, la velocidad del punto de contacto de las ruedas 1 y 2 es igual a la velocidad del punto de contacto de las ruedas 3 y 2: v12 = v32. Como v = R * φ', donde R es el radio de la rueda y φ' es la velocidad angular, obtenemos:

R1 * φ'1 = R2 * φ'2,

R3 * φ'3 = R2 * φ'2.

Resulta que:

R1 * φ'1 = R3 * φ'3.

Expresemos la fuerza de fricción f12 de la primera ecuación de Carnot:

f12 = (M1 - I1 * φ''1) / (R2 * R1).

De manera similar, a partir de la segunda ecuación de Carnot expresamos la fuerza de fricción f32:

f32 = (M3 - I3 * φ''3) / (R2 * R3).

Sustituyamos las expresiones obtenidas para las fuerzas de fricción en la ecuación de la velocidad del punto de contacto de las ruedas 1 y 2:

f12 = f32 + F,

donde F es la fuerza generalizada deseada correspondiente al ángulo de rotación de la rueda 1.

De la ecuación resultante encontramos la fuerza requerida F:

F = (M1 / R1 - M3 / R3) - (I1 / (R1 * R2) * φ''1 - I3 / (R2 * R3) * φ''3).

Sustituyamos los valores de las condiciones del problema:

F = (15 / 0,3 - 5 / 0,5) - (0 / (0,3 * R2) - 0 / (R2 * 0,5)) = 12.

Respuesta: 12.

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