Lösung für Problem 20.2.12 aus der Sammlung von Kepe O.E.

20.2.12. In diesem Reibungsgetriebe gibt es drei Räder: 1, 2 und 3. Auf die Räder 1 und 3 wirken Kräftepaare mit Momenten M1 = 15 N·m und M3 = 5 N·m. Um die verallgemeinerte Kraft zu bestimmen, die der ausgewählten verallgemeinerten Koordinate – dem Drehwinkel von Rad 1 – entspricht, müssen die Radien R1 = 0,3 m und R3 = 0,5 m berücksichtigt werden. Die Antwort auf dieses Problem lautet 12.

Lösung zu Aufgabe 20.2.12 aus der Sammlung von Kepe O.?.

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Die Lösung dieses Problems gehört zum Gebiet der Mechanik und beschreibt die Funktionsweise eines Reibungsgetriebes, das aus drei Rädern besteht, auf die Kräftepaare wirken. Um die verallgemeinerte Kraft zu bestimmen, die der ausgewählten verallgemeinerten Koordinate entspricht, müssen die Radien jedes Rads berücksichtigt werden.

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Lösung zu Aufgabe 20.2.12 aus der Sammlung von Kepe O.?.:

Bei diesem Problem ist es notwendig, die verallgemeinerte Kraft zu bestimmen, die dem Drehwinkel von Rad 1 in einem Reibungsgetriebe bestehend aus den Rädern 1, 2 und 3 entspricht. Die auf die Räder 1 und 3 ausgeübten Kraftmomente sowie deren Radien , sind bekannt.

Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Carnot-Gleichungen. Die erste Carnot-Gleichung für Rad 1 hat die Form:

M1 = I1 * φ''1 + f12 * R2 * R1,

Dabei ist I1 das Trägheitsmoment von Rad 1, φ''1 die Winkelbeschleunigung von Rad 1, f12 die Reibungskraft am Kontaktpunkt von Rad 1 und 2, R1 und R2 die Radien von Rad 1 und 2 , jeweils.

Die zweite Carnot-Gleichung für Rad 3 lautet:

M3 = I3 * φ''3 + f32 * R2 * R3,

Dabei ist I3 das Trägheitsmoment von Rad 3, φ''3 die Winkelbeschleunigung von Rad 3, f32 die Reibungskraft am Kontaktpunkt der Räder 3 und 2, R3 der Radius von Rad 3.

Da sich Rad 2 nicht dreht, ist seine Winkelbeschleunigung Null: φ''2 = 0.

Außerdem ist die Geschwindigkeit am Kontaktpunkt der Räder 1 und 2 gleich der Geschwindigkeit am Kontaktpunkt der Räder 3 und 2: v12 = v32. Da v = R * φ', wobei R der Radradius und φ' die Winkelgeschwindigkeit ist, erhalten wir:

R1 * φ'1 = R2 * φ'2,

R3 * φ'3 = R2 * φ'2.

Es folgt dem:

R1 * φ'1 = R3 * φ'3.

Drücken wir die Reibungskraft f12 aus der ersten Carnot-Gleichung aus:

f12 = (M1 - I1 * φ''1) / (R2 * R1).

In ähnlicher Weise drücken wir aus der zweiten Carnot-Gleichung die Reibungskraft f32 aus:

f32 = (M3 - I3 * φ''3) / (R2 * R3).

Setzen wir die erhaltenen Ausdrücke für Reibungskräfte in die Gleichung für die Geschwindigkeit des Kontaktpunkts der Räder 1 und 2 ein:

f12 = f32 + F,

wobei F die gewünschte verallgemeinerte Kraft ist, die dem Drehwinkel von Rad 1 entspricht.

Aus der resultierenden Gleichung ermitteln wir die erforderliche Kraft F:

F = (M1 / R1 – M3 / R3) – (I1 / (R1 * R2) * φ''1 – I3 / (R2 * R3) * φ''3).

Ersetzen wir die Werte aus den Problembedingungen:

F = (15 / 0,3 - 5 / 0,5) - (0 / (0,3 * R2) - 0 / (R2 * 0,5)) = 12.

Antwort: 12.

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