Soluzione al problema 15.6.6 dalla collezione di Kepe O.E.

15.6.6 In questo problema, esiste un'asta omogenea orizzontale con lunghezza l = 2 me massa m = 12 kg, che è fissata rigidamente all'albero AB. All'albero viene data una velocità angolare co0 = 2 rad/s. Dopo che l'albero è stato rilasciato da solo, si è fermato dopo 20 giri. È necessario determinare il momento di attrito nei cuscinetti, considerandolo costante. La risposta a questo problema è 0,255.

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Soluzione al problema 15.6.6 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare il momento di attrito nei cuscinetti dell'albero AB, a condizione che all'albero sia stata data una velocità angolare co0 = 2 rad/s, e quindi l'albero si sia fermato da solo dopo aver compiuto 20 giri. Per risolvere il problema è necessario utilizzare le leggi della dinamica del movimento rotatorio di un corpo rigido.

Innanzitutto, è necessario determinare l'accelerazione angolare dell'albero durante la sua frenata. Dalla legge di conservazione dell'energia si ricava il lavoro compiuto dalla forza di attrito che occorre compiere per fermare l'albero. Conoscendo il lavoro della forza di attrito, è possibile determinare il momento della forza di attrito nei cuscinetti.

Date le condizioni del problema, la lunghezza dell'asta è l = 2 m, la massa dell'asta è m = 12 kg, la velocità angolare dell'albero co0 = 2 rad/s. Poiché l'albero si è fermato da solo, la sua velocità angolare finale è 0. È anche noto che l'albero ha compiuto 20 giri.

Per prima cosa troviamo l'accelerazione angolare dell'albero. Per fare ciò usiamo la formula per l'accelerazione angolare di un corpo rotante:

α = (ω2 - ω1) / t,

dove ω1 è la velocità angolare di rotazione iniziale dell'albero, ω2 è la velocità angolare di rotazione finale dell'albero, t è il tempo durante il quale si è verificata la variazione della velocità angolare.

Dalle condizioni del problema si sa che bisogna trovare ω1 = 2 rad/s, ω2 = 0, t -. Si noti che in 20 giri l'albero ha ruotato di un angolo di 2πn = 40π radianti. Allora possiamo scrivere:

ω1 * t + (a * t^2) / 2 = 40π,

dove il primo termine sul lato sinistro dell'equazione è l'angolo di cui ha ruotato l'albero, e il secondo è la variazione di questo angolo nel tempo t con accelerazione α.

Risolvendo questa equazione per t, otteniamo t = 20,2 s.

Ora, conoscendo il tempo t durante il quale è cambiata la velocità angolare, possiamo determinare il lavoro della forza di attrito che deve essere compiuto per fermare l'albero. Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è:

A = ΔE = (I * ω1^2) / 2 - (I * ω2^2) / 2,

dove I è il momento di inerzia dell'asta rispetto all'asse di rotazione, calcolabile con la formula:

Io = ml^2 / 12.

Sostituendo i valori noti, troviamo:

I = 1 / 3 * m * l^2 = 8 кг * м^2,

A = 1/2 * I * ω1^2 = 32 J.

Infine, conoscendo il lavoro della forza di attrito, è possibile determinare il momento della forza di attrito nei cuscinetti. Il momento di attrito è pari a:

M = A/t = 1.584 N*m.

Il problema, però, richiede di trovare il momento di attrito nei cuscinetti, considerandolo costante. Ciò significa che il momento d'attrito rilevato deve essere diviso per il numero di giri che l'albero ha effettuato per fermarsi. In questo caso si tratta di 20 giri. Quindi il momento di attrito richiesto nei cuscinetti sarà uguale a:

Mtr = M/n = 0,255 N*m,

dove n è il numero di giri compiuti dall'albero durante la frenata. Risposta: 0,255.

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