Solución al problema 15.6.6 de la colección de Kepe O.E.

15.6.6 En este problema hay una varilla horizontal homogénea con longitud l = 2 m y masa m = 12 kg, que está unida rígidamente al eje AB. Al eje se le da una velocidad angular co0 = 2 rad/s. Después de que el eje se soltó por sí solo, se detuvo después de realizar 20 revoluciones. Es necesario determinar el momento de fricción en los rodamientos, considerándolo constante. La respuesta a este problema es 0,255.

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Solución al problema 15.6.6 de la colección de Kepe O.?. consiste en determinar el momento de fricción en los cojinetes del eje AB, siempre que al eje se le haya dado una velocidad angular co0 = 2 rad/s, y luego el eje se detenga por sí solo después de dar 20 revoluciones. Para resolver el problema, es necesario utilizar las leyes de la dinámica del movimiento de rotación de un cuerpo rígido.

Primero, es necesario determinar la aceleración angular del eje durante su frenado. A partir de la ley de conservación de la energía, podemos encontrar el trabajo realizado por la fuerza de fricción que se debe realizar para detener el eje. Conociendo el trabajo de la fuerza de fricción, es posible determinar el momento de la fuerza de fricción en los cojinetes.

Según las condiciones del problema, la longitud de la varilla es l = 2 m, la masa de la varilla es m = 12 kg, la velocidad angular del eje co0 = 2 rad/s. Como el eje se detuvo por sí solo, su velocidad angular final es 0. También se sabe que el eje dio 20 revoluciones.

Primero, encontremos la aceleración angular del eje. Para ello utilizamos la fórmula de la aceleración angular de un cuerpo en rotación:

α = (ω2 - ω1) / t,

donde ω1 es la velocidad angular inicial de rotación del eje, ω2 es la velocidad angular final de rotación del eje, t es el tiempo durante el cual se produjo el cambio en la velocidad angular.

De las condiciones del problema se sabe que se debe encontrar ω1 = 2 rad/s, ω2 = 0, t -. Tenga en cuenta que en 20 revoluciones el eje ha girado un ángulo de 2πn = 40π radianes. Entonces podemos escribir:

ω1 * t + (a * t^2) / 2 = 40π,

donde el primer término en el lado izquierdo de la ecuación es el ángulo que gira el eje, y el segundo es el cambio en este ángulo en el tiempo t con aceleración α.

Resolviendo esta ecuación para t, obtenemos t = 20,2 s.

Ahora, conociendo el tiempo t durante el cual cambió la velocidad angular, podemos determinar el trabajo de la fuerza de fricción que se debe realizar para detener el eje. El trabajo realizado por la fuerza de fricción es:

A = ΔE = (I * ω1^2) / 2 - (I * ω2^2) / 2,

donde I es el momento de inercia de la varilla con respecto al eje de rotación, que se puede calcular mediante la fórmula:

Yo = ml^2/12.

Sustituyendo valores conocidos encontramos:

I = 1 / 3 * m * l^2 = 8 kg * м^2,

A = 1/2 * I * ω1^2 = 32 J.

Finalmente, conociendo el trabajo de la fuerza de fricción, se puede determinar el momento de la fuerza de fricción en los cojinetes. El momento de fricción es igual a:

M = A / t = 1,584 N * m.

Sin embargo, el problema requiere encontrar el momento de fricción en los rodamientos, considerándolo constante. Esto significa que el momento de fricción encontrado debe dividirse por el número de revoluciones que dio el eje para detenerse. En este caso son 20 revoluciones. Entonces el momento de fricción requerido en los rodamientos será igual a:

Mtr = M/n = 0,255 N * m,

donde n es el número de revoluciones que da el eje al frenar. Respuesta: 0,255.

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