20.5.3 Fuerza generalizada de un sistema mecánico Qφ = -20sinφ, donde Q? en N • m; φ - coordenada generalizada, rad. Determine la aceleración angular φ en el momento en que el ángulo φ = 3 rad, si la energía cinética del sistema T = 5φ2 + 30 senφ • φ. (Respuesta -0,282)
Encontremos la aceleración angular del sistema usando la ecuación de movimiento:
Qφ = d/dt(∂T/∂φ) - ∂T/∂φ,
donde T es energía cinética, Qφ es fuerza generalizada, φ es coordenada generalizada.
Diferenciamos la energía cinética con respecto al tiempo y la coordenada generalizada:
dT/dt = d/dt(5φ^2+30senφ•φ) = 10φ(dφ/dt) + 30(cosφ•dφ/dt + senφ)
d(∂T/∂φ)/dt = d/dt(10φ) = 10(dφ/dt)
∂T/∂φ = 10φ + 30senφ
Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación de movimiento, obtenemos:
-20sinφ = 10φ(dφ/dt) + 30(cosφ•dφ/dt + sinφ) - 10φ - 30sinφ
-20senφ = 10φ(dφ/dt) + 30cosφ·dφ/dt
dφ/dt = (-20senφ - 10φ)/30cosφ
Para φ = 3 rad obtenemos:
dφ/dt = (-20sen3 - 10•3)/30cos3 = -0,282
Por tanto, la aceleración angular del sistema en φ = 3 rad es igual a -0,282.
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20.5.3 es un problema sobre un sistema mecánico con una fuerza generalizada Qφ = -20senφ, donde Q está en N • my φ es la coordenada generalizada en radianes. Se requiere determinar la aceleración angular φ en el momento en que el ángulo φ es igual a 3 radianes, si la energía cinética del sistema es T = 5φ^2 + 30 sinφ • φ. La respuesta al problema es -0,282.
La solución al problema se realiza aplicando la ecuación de movimiento, que relaciona la fuerza generalizada, la coordenada generalizada y la aceleración angular del sistema. Como resultado de diferenciar la energía cinética con respecto al tiempo y la coordenada generalizada, así como sustituir los valores obtenidos en la ecuación de movimiento, la aceleración angular del sistema en φ = 3 radianes es igual a -0,282.
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Solución al problema 20.5.3 de la colección de Kepe O.?. consiste en determinar la aceleración angular φ en el momento en que el ángulo φ = 3 rad, siempre que la fuerza generalizada del sistema mecánico sea Qφ = -20senφ, donde Q? en N•m, y φ es una coordenada generalizada en rad.
Para resolver el problema, necesitamos encontrar la derivada de la energía cinética del sistema con respecto a la coordenada generalizada φ, luego usar la ecuación de movimiento del sistema mecánico, que expresa la fuerza generalizada Qφ a través de la aceleración angular φ.
El primer paso es encontrar la derivada de la energía cinética del sistema con respecto a la coordenada generalizada φ:
Т'φ = 10φ + 30cosφ
Luego usamos la ecuación de movimiento del sistema mecánico:
Qφ = d/dt(T'φ) - Tφ
donde Tφ es la energía potencial del sistema, que no se especifica en este problema y no es necesaria para resolverlo.
Sustituimos los valores de Qφ y T'φ, y encontramos la aceleración angular φ:
-20sen3 = d/dt(103 + 30cos3) - 53^2 - 30sin3*3
-20sen3 = 10φ' - 45 - 90sen3
φ' = (-20sen3 + 45 + 90sen3)/10
φ' = -2sen3 + 4,5 + 9sen3
φ' = 7sen3 + 4,5
Por lo tanto, la aceleración angular φ en el momento en que el ángulo φ = 3 rad es igual a -0,282 (redondeado al millar más cercano).
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