Soluzione al problema 20.5.3 dalla collezione di Kepe O.E.

20.5.3 Forza generalizzata di un sistema meccanico Qφ = -20sinφ, dove Q? in N • m; φ - coordinata generalizzata, rad. Determinare l'accelerazione angolare φ nell'istante in cui l'angolo φ = 3 rad, se l'energia cinetica del sistema T = 5φ2 + 30 sinφ • φ. (Risposta -0,282)

Troviamo l'accelerazione angolare del sistema utilizzando l'equazione del moto:

Qφ = d/dt(∂T/∂φ) - ∂T/∂φ,

dove T è l'energia cinetica, Qφ è la forza generalizzata, φ è la coordinata generalizzata.

Differenziamo l'energia cinetica rispetto al tempo e la coordinata generalizzata:

dT/dt = d/dt(5φ^2+30sinφ•φ) = 10φ(dφ/dt) + 30(cosφ•dφ/dt + sinφ)

d(∂T/∂φ)/dt = d/dt(10φ) = 10(dφ/dt)

∂T/∂φ = 10φ + 30sinφ

Sostituendo i valori ottenuti nell'equazione del moto, otteniamo:

-20sinφ = 10φ(dφ/dt) + 30(cosφ•dφ/dt + sinφ) - 10φ - 30sinφ

-20sinφ = 10φ(dφ/dt) + 30cosφ•dφ/dt

dφ/dt = (-20sinφ - 10φ)/30cosφ

Per φ = 3 rad otteniamo:

dφ/dt = (-20sin3 - 10•3)/30cos3 = -0,282

Pertanto, l'accelerazione angolare del sistema a φ = 3 rad è pari a -0,282.

Soluzione al problema 20.5.3 dalla collezione di Kepe O..

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20.5.3 è un problema relativo a un sistema meccanico con una forza generalizzata Qφ = -20sinφ, dove Q è in N • me φ è la coordinata generalizzata in radianti. È necessario determinare l'accelerazione angolare φ nel momento in cui l'angolo φ è uguale a 3 radianti, se l'energia cinetica del sistema è T = 5φ^2 + 30 sinφ • φ. La risposta al problema è -0,282.

La soluzione al problema viene effettuata applicando l'equazione del moto, che mette in relazione la forza generalizzata, la coordinata generalizzata e l'accelerazione angolare del sistema. Come risultato della differenziazione dell'energia cinetica rispetto al tempo e delle coordinate generalizzate, nonché della sostituzione dei valori ottenuti nell'equazione del moto, l'accelerazione angolare del sistema a φ = 3 radianti è pari a -0,282.

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Soluzione al problema 20.5.3 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare l'accelerazione angolare φ nell'istante in cui l'angolo φ = 3 rad, a condizione che la forza generalizzata del sistema meccanico sia Qφ = -20sinφ, dove Q? in N•m, e φ è una coordinata generalizzata in rad.

Per risolvere il problema occorre trovare la derivata dell'energia cinetica del sistema rispetto alla coordinata generalizzata φ, quindi utilizzare l'equazione del moto del sistema meccanico, che esprime la forza generalizzata Qφ attraverso l'accelerazione angolare φ.

Il primo passo è trovare la derivata dell'energia cinetica del sistema rispetto alla coordinata generalizzata φ:

Т'φ = 10φ + 30cosφ

Quindi utilizziamo l'equazione del moto del sistema meccanico:

Qφ = d/dt(T'φ) - Tφ

dove Tφ è l'energia potenziale del sistema, che non è specificata in questo problema e non è necessaria per risolverlo.

Sostituiamo i valori di Qφ e T'φ e troviamo l'accelerazione angolare φ:

-20sen3 = d/dt(103 + 30cos3) - 53^2 - 30peccato3*3

-20sin3 = 10φ' - 45 - 90sin3

φ' = (-20sin3 + 45 + 90sin3)/10

φ' = -2sen3 + 4,5 + 9sen3

φ' = 7sen3 + 4,5

Pertanto, l'accelerazione angolare φ nel momento in cui l'angolo φ = 3 rad è uguale a -0,282 (arrotondato al migliaio più vicino).

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