Solução D1-07 (Figura D1.0 condição 7 SM Targ 1989)

Solução para o probleeua D1-07 (Figura D1.0 condição 7 S.M. Targ 1989)

Dada ueua carga de euassa eu, que recebeu velocidade inicial v0 no ponto A e se move em um tubo curvo ABC localizado em um plano vertical. As seções do tubo podem ser inclinadas ou horizontais (ver Fig. D1.0 - D1.9, Tabela D1). Na seção AB, a carga sofre a ação de uma força constante Q (sua direção é mostrada nas figuras) e uma força de resistência do meio R, que depende da velocidade v da carga e é direcionada contra o movimento. O atrito da carga no tubo na seção AB pode ser desprezado.

No ponto B, a carga, sem alterar sua velocidade, desloca-se para o trecho BC do tubo, onde, além da força da gravidade, é influenciada pela força de atrito (coeficiente de atrito da carga no tubo f = 0.2) e a força variável F, cuja projeção Fx no eixo x é dada na tabela.

Nos cálculos, assumimos que a carga é um ponto material e é conhecida a distância AB = l ou o tempo t1 de movimento da carga do ponto A ao ponto B. É necessário encontrar a lei do movimento da carga em a seção BC, ou seja, x = f(t), onde x = BD.

Responder:

Na seção AB, a carga sofre a ação de uma força constante Q e uma força de resistência do meio R, que depende da velocidade v da carga e é direcionada contra o movimento. Usando a segunda lei de Newton, podemos escrever a equação do movimento da carga na seção AB:

m*uma = Q - R,

onde a é a aceleração da carga.

Como o atrito da carga no tubo na seção AB é desprezível, a força de atrito é zero. A força de arrasto do meio pode ser expressa da seguinte forma:

R =k*v,

onde k é o coeficiente de resistência do meio.

Assim, a equação para a movimentação de carga na seção AB terá a forma:

muma = Q - kv.

Resolvendo esta equação, obtemos a lei do movimento da carga na seção AB:

v = (Q/k) + C1exp(-kt/m),

onde C1 é a constante de integração, que pode ser encontrada a partir das condições iniciais do problema. Como no ponto A a carga tem velocidade inicial v0, então C1 = (v0 - Q/k). Substituindo C1 na equação, obtemos:

v = (v0exp(-kt/m)) + (Q/k)(1 - exp(-kt/m)).

Na seção BC, a carga é influenciada por uma força de atrito e uma força variável F, cuja projeção Fx no eixo x é dada na tabela. Usando a segunda lei de Newton, podemos escrever a equação do movimento da carga na seção da aeronave:

muma =Fx - fN,

onde N é a força normal que atua sobre a carga do tubo.

Como a carga se move ao longo de uma superfície inclinada, a força normal pode ser expressa da seguinte forma:

N=mgcos(a),

onde g é a aceleração da gravidade, α é o ângulo de inclinação da superfície.

Assim, a equação para a movimentação de carga no trecho da aeronave terá a forma:

muma =Fx - fmgcos(a).

Resolvendo esta equação, obtemos a lei do movimento de carga no trecho da aeronave:

x = (1/(2f))[(Fx/m) -gcos(a)]t^2 + (v0 + (Q/k))(1 - exp(-kt/m)) - (Q/k),

onde t é o tempo de movimentação da carga no trecho da aeronave.

Assim, obtivemos a lei do movimento de carga no trecho da aeronave, expressa em termos da coordenada x e do tempo t. Depende das condições iniciais do problema, como a massa da carga, a velocidade inicial, o coeficiente de atrito e as forças que atuam sobre a carga. Ao resolver este problema, é possível determinar a natureza do movimento da carga em uma determinada seção do tubo.

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A solução D1-07 é um problema do livro de S.M. Targa "Movimento de um ponto material ao longo de um tubo curvo." Neste problema, uma carga de massa m se move ao longo de um tubo curvo ABC, que está em um plano vertical. Na seção AB, a carga é influenciada por uma força constante Q e pela força de resistência do meio R, bem como pela força da gravidade. No ponto B, a carga passa para a seção BC do tubo, onde, além da força da gravidade, é influenciada pela força de atrito e pela força variável F.

A tarefa é encontrar a lei do movimento de carga no trecho da aeronave, ou seja, função x=f(t), onde x é a distância entre o ponto B e a carga, e t é o tempo de movimentação da carga no trecho da aeronave. Para resolver o problema é necessário conhecer a massa da carga, a velocidade inicial v0, o coeficiente de atrito da carga no tubo f, a projeção da força variável Fx no eixo x e a distância AB=l ou o tempo t1 de movimento da carga do ponto A ao ponto B.

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