Solution D1-07 (Figure D1.0 condition 7 S.M. Targ 1989)

Solution au problème D1-07 (Figure D1.0 condition 7 S.M. Targ 1989)

Étant donné une charge de masse m, qui reçoit une vitesse initiale v0 au point A et se déplace dans un tuyau courbe ABC situé dans un plan vertical. Les sections de tuyaux peuvent être inclinées ou horizontales (voir Fig. D1.0 - D1.9, Tableau D1). Dans la section AB, la charge est soumise à l'action d'une force constante Q (sa direction est indiquée sur les figures) et d'une force de résistance du milieu R, qui dépend de la vitesse v de la charge et est dirigée contre le mouvement. Le frottement de la charge sur le tuyau dans la section AB peut être négligé.

Au point B, la charge, sans changer de vitesse, se déplace vers la section BC du tuyau, où, en plus de la force de gravité, elle est sollicitée par la force de frottement (coefficient de frottement de la charge sur le tuyau f = 0,2) et la force variable F dont la projection Fx sur l'axe x donnée dans le tableau.

Dans les calculs, on suppose que la charge est un point matériel et qu'on connaît la distance AB = l ou le temps t1 de déplacement de la charge du point A au point B. Il faut trouver la loi de déplacement de la charge sur la section BC, c'est-à-dire x = f(t), où x = BD.

Répondre:

Dans la section AB, la charge est soumise à une force constante Q et à une force de résistance du milieu R, qui dépend de la vitesse v de la charge et est dirigée contre le mouvement. En utilisant la deuxième loi de Newton, nous pouvons écrire l’équation du mouvement de la charge dans la section AB :

m*a = Q-R,

où a est l’accélération de la charge.

Le frottement de la charge sur le tuyau dans la section AB étant négligeable, la force de frottement est nulle. La force de traînée du milieu peut être exprimée comme suit :

R = k*v,

où k est le coefficient de résistance du milieu.

Ainsi, l'équation du mouvement des marchandises dans la section AB prendra la forme :

mune = Q - kv.

En résolvant cette équation, nous obtenons la loi du mouvement de charge dans la section AB :

v = (Q/k) + C1exp(-kt/m),

où C1 est la constante d’intégration, que l’on peut trouver à partir des conditions initiales du problème. Puisqu'au point A la charge a une vitesse initiale v0, alors C1 = (v0 - Q/k). En substituant C1 dans l'équation, on obtient :

v = (v0exp(-kt/m)) + (Q/k)(1 - exp(-kt/m)).

Dans la section BC, la charge est soumise à l'action d'une force de frottement et d'une force variable F, dont la projection Fx sur l'axe x est donnée dans le tableau. En utilisant la deuxième loi de Newton, nous pouvons écrire l'équation du mouvement de la charge sur la section de l'avion :

mune = Fx - fN,

où N est la force normale agissant sur la charge du tuyau.

Puisque la charge se déplace le long d’une surface inclinée, la force normale peut être exprimée comme suit :

N = mgcos(a),

où g est l'accélération de la gravité, α est l'angle d'inclinaison de la surface.

Ainsi, l'équation du mouvement des marchandises sur la section de l'avion prendra la forme :

mune = Fx - fmgcos(a).

En résolvant cette équation, nous obtenons la loi du mouvement du fret sur la section de l'avion :

x = (1/(2F))[(Fx/m) - gcos(a)]t^2 + (v0 + (Q/k))(1 - exp(-kt/m)) - (Q/k),

où t est l'heure du mouvement du fret sur la section de l'avion.

Ainsi, nous avons obtenu la loi du mouvement du fret sur la section de l'avion, exprimée en termes de coordonnée x et de temps t. Cela dépend des conditions initiales du problème, telles que la masse de la charge, la vitesse initiale, le coefficient de frottement et les forces agissant sur la charge. En résolvant ce problème, il est possible de déterminer la nature du mouvement de la charge dans une section donnée du tuyau.

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La solution au problème est présentée sous forme d’équations et d’expressions mathématiques qui vous aideront à mieux comprendre les lois physiques qui sous-tendent le problème. En particulier, la solution utilise la deuxième loi de Newton pour écrire les équations de mouvement de la charge dans les sections AB et BC, et le coefficient de frottement de la charge sur le tuyau f = 0,2 est pris en compte lors de la description du mouvement dans la section BC.

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La solution D1-07 est un problème du manuel de S.M. Targa "Mouvement d'un point matériel le long d'un tuyau courbe." Dans ce problème, une charge de masse m se déplace le long d’un tuyau courbe ABC, qui se trouve dans un plan vertical. Dans la section AB, la charge est soumise à l'action d'une force constante Q et de la force de résistance du milieu R, ainsi que de la force de gravité. Au point B, la charge passe à la section BC du tuyau, où, en plus de la force de gravité, elle est sollicitée par la force de frottement et la force variable F.

La tâche est de trouver la loi du mouvement du fret sur la section de l'avion, c'est-à-dire fonction x=f(t), où x est la distance entre le point B et la charge, et t est le temps de déplacement de la charge sur la section de l'avion. Pour résoudre le problème, il faut connaître la masse de la charge, la vitesse initiale v0, le coefficient de frottement de la charge sur le tuyau f, la projection de la force variable Fx sur l'axe x et la distance AB=l soit le temps t1 de déplacement de la charge du point A au point B.

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