Lösung D1-07 (Abbildung D1.0 Bedingung 7 S.M. Targ 1989)

LösunG für ProbleM D1-07 (AbbildunG D1.0 Bedingung 7 S.M. Targ 1989)

Gegeben ist eine Last der Masse M, die aM Punkt A eine Anfangsgeschwindigkeit v0 erhält und sich in eineM gekrümmten Rohr ABC bewegt, das in einer vertikalen Ebene liegt. Rohrabschnitte können geneigt oder horizontal sein (siehe Abb. D1.0 - D1.9, Tabelle D1). Im Abschnitt AB wirkt auf die Last eine konstante Kraft Q (ihre Richtung ist in den Abbildungen dargestellt) und eine Widerstandskraft des Mediums R, die von der Geschwindigkeit v der Last abhängt und der Bewegung entgegengerichtet ist. Die Reibung der Last am Rohr im Abschnitt AB kann vernachlässigt werden.

Am Punkt B bewegt sich die Last, ohne ihre Geschwindigkeit zu ändern, in den Abschnitt BC des Rohres, wo zusätzlich zur Schwerkraft die Reibungskraft (Reibungskoeffizient der Last am Rohr f =) auf sie einwirkt 0,2) und die variable Kraft F, deren Projektion Fx auf die x-Achse in der Tabelle angegeben ist.

Bei den Berechnungen gehen wir davon aus, dass die Last ein materieller Punkt ist und der Abstand AB = l oder die Zeit t1 der Bewegung der Last von Punkt A nach Punkt B bekannt ist. Es ist notwendig, das Bewegungsgesetz der Last zu finden der Abschnitt BC, d.h. x = f(t), wobei x = BD.

Antwort:

Im Abschnitt AB wirkt auf die Last eine konstante Kraft Q und eine Widerstandskraft des Mediums R, die von der Geschwindigkeit v der Last abhängt und der Bewegung entgegengerichtet ist. Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz können wir die Bewegungsgleichung der Last im Abschnitt AB schreiben:

m*a = Q - R,

wobei a die Beschleunigung der Last ist.

Da die Reibung der Last am Rohr im Abschnitt AB vernachlässigbar ist, ist die Reibungskraft Null. Die Widerstandskraft des Mediums kann wie folgt ausgedrückt werden:

R = k*v,

wobei k der Widerstandskoeffizient des Mediums ist.

Somit hat die Gleichung für die Frachtbewegung im Abschnitt AB die Form:

ma = Q – kv.

Durch Lösen dieser Gleichung erhalten wir das Gesetz der Lastbewegung im Abschnitt AB:

v = (Q/k) + C1exp(-kt/m),

Dabei ist C1 die Integrationskonstante, die aus den Anfangsbedingungen des Problems ermittelt werden kann. Da die Last am Punkt A eine Anfangsgeschwindigkeit v0 hat, gilt C1 = (v0 - Q/k). Wenn wir C1 in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:

v = (v0exp(-kt/m)) + (Q/k)(1 - exp(-kt/m)).

Im Abschnitt BC wirkt auf die Last eine Reibungskraft und eine variable Kraft F, deren Projektion Fx auf die x-Achse in der Tabelle angegeben ist. Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz können wir die Bewegungsgleichung der Last auf den Flugzeugabschnitt schreiben:

ma = Fx - fN,

Dabei ist N die Normalkraft, die vom Rohr auf die Last wirkt.

Da sich die Last entlang einer geneigten Fläche bewegt, kann die Normalkraft wie folgt ausgedrückt werden:

N = mgcos(a),

Dabei ist g die Erdbeschleunigung und α der Neigungswinkel der Oberfläche.

Somit sieht die Gleichung für die Frachtbewegung auf dem Flugzeugabschnitt wie folgt aus:

ma = Fx - fmgcos(a).

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir das Gesetz der Frachtbewegung im Flugzeugabschnitt:

x = (1/(2F))[(Fx/m) - gcos(a)]t^2 + (v0 + (Q/k))(1 - exp(-kt/m)) - (Q/k),

wobei t die Zeit der Frachtbewegung auf dem Flugzeugabschnitt ist.

Damit haben wir das Gesetz der Frachtbewegung auf dem Flugzeugabschnitt erhalten, ausgedrückt durch die Koordinate x und die Zeit t. Sie hängt von den Anfangsbedingungen des Problems ab, wie der Masse der Last, der Anfangsgeschwindigkeit, dem Reibungskoeffizienten und den auf die Last wirkenden Kräften. Durch die Lösung dieses Problems ist es möglich, die Art der Lastbewegung in einem bestimmten Rohrabschnitt zu bestimmen.

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Die Lösung des Problems wird in Form mathematischer Gleichungen und Ausdrücke dargestellt, die Ihnen helfen, die dem Problem zugrunde liegenden physikalischen Gesetze besser zu verstehen. Insbesondere verwendet die Lösung das zweite Newtonsche Gesetz, um die Bewegungsgleichungen der Last in den Abschnitten AB und BC zu formulieren, und der Reibungskoeffizient der Last auf dem Rohr f = 0,2 wird bei der Beschreibung der Bewegung im Abschnitt BC berücksichtigt.

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Lösung D1-07 ist eine Aufgabe aus dem Lehrbuch von S.M. Targa „Bewegung eines Materialpunktes entlang eines gekrümmten Rohres.“ Bei diesem Problem bewegt sich eine Last der Masse m entlang eines gekrümmten Rohrs ABC, das in einer vertikalen Ebene liegt. Im Abschnitt AB wirken auf die Last eine konstante Kraft Q und die Widerstandskraft des Mediums R sowie die Schwerkraft. Am Punkt B gelangt die Last in den Rohrabschnitt BC, wo zusätzlich zur Schwerkraft die Reibungskraft und die variable Kraft F auf sie einwirken.

Die Aufgabe besteht darin, das Gesetz der Frachtbewegung auf dem Flugzeugabschnitt zu finden, d.h. Funktion x=f(t), wobei x der Abstand zwischen Punkt B und der Last und t die Zeit der Bewegung der Last auf dem Flugzeugabschnitt ist. Um das Problem zu lösen, müssen die Masse der Last, die Anfangsgeschwindigkeit v0, der Reibungskoeffizient der Last auf dem Rohr f, die Projektion der veränderlichen Kraft Fx auf die x-Achse und der Abstand AB=l bekannt sein oder die Zeit t1 der Bewegung der Last von Punkt A nach Punkt B.

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