O elétron está em uma caixa de potencial de largura l.

Existe um elétron em uma caixa de potencial de largura l. É necessário encontrar pontos em que possa estar no intervalo (0,l). A solução para o problema 60307 é apresentada a seguir.

Vamos escrever a equação de Schrödinger para o caso unidimensional:

HΨ=EΨ

onde H é o operador de Hamilton, Ψ é a função de onda, E é a energia do elétron.

Numa caixa potencial, a energia potencial é zero, ou seja, V(x)=0. Então o operador Hamilton tem a forma:

H=-(h^2/2m) * d^2/dx^2

onde h é a constante de Planck, m é a massa do elétron.

Procuramos uma solução para a equação de Schrödinger na forma:

Ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)

onde A e B são constantes, k=sqrt(2mE)/h.

As condições para um elétron estar em uma caixa de potencial são:

• Ψ(0)=0
• Ψ(eu)=0

Da primeira condição segue-se que B=0, e da segunda condição segue-se que k=nπ/l, onde n é um número inteiro.

Então a equação da função de onda terá a forma:

Ψ(x)=Asin(nπx/l)

Vamos encontrar a constante A. Usando a condição de normalização, obtemos:

∫Ψ^2(x)dx=1

∫Asin^2(nπx/l)dx=1

A^2*l/2=1

A = quadrado (2/l)

Assim, a função de onda de um elétron em uma caixa potencial de largura l tem a forma:

Ψn(x)=sqrt(2/l)*sen(nπx/l)

onde n é um número inteiro.

Os pontos em que um elétron pode estar no intervalo (0,l) são determinados pelas condições:

• Ψn(0)≠0
• Ψn(l)≠0

Levando em consideração a forma da função de onda, obtemos:

• Ψn(0)=sqrt(2/l)*sen(0)=0
• Ψn(l)=sqrt(2/l)*sin(nπ)=0 e n=1,2,3,.

Assim, o elétron pode estar localizado nos pontos:

x=k*l/(2n+1), onde k=1,2,3,... e n=0,1,2,3,...

Se você tiver alguma dúvida sobre a solução, escreva. Eu tentarei ajudar.

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