電子は幅 l のポテンシャルボックス内にあります。

幅 l のポテンシャルの箱の中に電子があります。区間 (0,l) 内に収まる点を見つける必要があります。問題 60307 の解決策を以下に示します。

1 次元の場合のシュレディンガー方程式を書いてみましょう。

HΨ=EΨ

ここで、H はハミルトン演算子、Ψ は波動関数、E は電子エネルギーです。

ポテンシャルボックスでは、ポテンシャルエネルギーはゼロです。 V(x)=0。この場合、ハミルトン演算子は次の形式になります。

H=-(h^2/2m) * d^2/dx^2

ここで、h はプランク定数、m は電子の質量です。

次の形式でシュレディンガー方程式の解を探しています。

Ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)

ここで、A と B は定数、k=sqrt(2mE)/h です。

電子がポテン​​シャルボックス内に存在するための条件は次のとおりです。

• Ψ(0)=0
• Ψ(l)=0

最初の条件から B=0 が得られ、2 番目の条件から k=nπ/l (n は整数) が得られます。

この場合、波動関数の方程式は次の形式になります。

Ψ(x)=Asin(nπx/l)

定数 A を見つけてみましょう。正規化条件を使用すると、次のようになります。

∫Ψ^2(x)dx=1

∫Asin^2(nπx/l)dx=1

A^2*l/2=1

A=sqrt(2/l)

したがって、幅 l のポテンシャルボックス内の電子の波動関数は次の形式になります。

Ψn(x)=sqrt(2/l)*sin(nπx/l)

ここで、n は整数です。

電子が区間 (0,l) 内に存在できる点は、次の条件によって決まります。

• Ψn(0)≠0
• Ψn(l)≠0

波動関数の形式を考慮すると、次のようになります。

• Ψn(0)=sqrt(2/l)*sin(0)=0
• Ψn(l)=sqrt(2/l)*sin(nπ)=0 および n=1,2,3,。

したがって、電子は次の点に位置することができます。

x=k*l/(2n+1)、ここで k=1,2,3,... および n=0,1,2,3,...

解決策に関してご質問がございましたら、お書きください。お手伝いさせていただきます。

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