L'électron est dans une boîte de potentiel de largeur l.

Il y a un électron dans une boîte de potentiel de largeur l. Il est nécessaire de trouver les points où il peut être dans l'intervalle (0,l). La solution au problème 60307 est présentée ci-dessous.

Écrivons l'équation de Schrödinger pour le cas unidimensionnel :

HΨ=EΨ

où H est l'opérateur de Hamilton, Ψ est la fonction d'onde, E est l'énergie électronique.

Dans une boîte de potentiel, l'énergie potentielle est nulle, c'est-à-dire V(x)=0. Alors l’opérateur de Hamilton a la forme :

H=-(h^2/2m) * d^2/dx^2

où h est la constante de Planck, m est la masse électronique.

Nous recherchons une solution à l'équation de Schrödinger sous la forme :

Ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)

où A et B sont des constantes, k=sqrt(2mE)/h.

Les conditions pour qu’un électron soit dans une boîte de potentiel sont :

• Ψ(0)=0
• Ψ(l)=0

De la première condition il résulte que B=0, et de la deuxième condition il résulte que k=nπ/l, où n est un nombre entier.

L’équation de la fonction d’onde prendra alors la forme :

Ψ(x)=Asin(nπx/l)

Trouvons la constante A. En utilisant la condition de normalisation, nous obtenons :

∫Ψ^2(x)dx=1

∫Asin^2(nπx/l)dx=1

UNE^2*l/2=1

A=sqrt(2/l)

Ainsi, la fonction d'onde d'un électron dans une boîte de potentiel de largeur l a la forme :

Ψn(x)=sqrt(2/l)*sin(nπx/l)

où n est un entier.

Les points auxquels un électron peut se trouver dans l'intervalle (0,l) sont déterminés par les conditions :

• Ψn(0)≠0
• Ψn(l)≠0

Compte tenu de la forme de la fonction d'onde, on obtient :

• Ψn(0)=sqrt(2/l)*sin(0)=0
• Ψn(l)=sqrt(2/l)*sin(nπ)=0 et n=1,2,3,.

Ainsi, l'électron peut être localisé aux points :

x=k*l/(2n+1), où k=1,2,3,... et n=0,1,2,3,...

Si vous avez des questions concernant la solution, veuillez écrire. Je vais essayer d'aider.

Description du produit : ?électron dans une boîte de potentiel

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