L'elettrone si trova in una scatola potenziale di larghezza l.

C'è un elettrone in una scatola potenziale di larghezza l. È necessario trovare i punti in cui può trovarsi nell'intervallo (0,l). La soluzione al problema 60307 è presentata di seguito.

Scriviamo l'equazione di Schrödinger per il caso unidimensionale:

HΨ=EΨ

dove H è l'operatore di Hamilton, Ψ è la funzione d'onda, E è l'energia dell'elettrone.

In una scatola potenziale l’energia potenziale è zero, cioè V(x)=0. Allora l'operatore di Hamilton ha la forma:

H=-(h^2/2m) * d^2/dx^2

dove h è la costante di Planck, m è la massa dell'elettrone.

Cerchiamo una soluzione dell'equazione di Schrödinger nella forma:

Ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)

dove A e B sono costanti, k=sqrt(2mE)/h.

Le condizioni affinché un elettrone si trovi in ​​una scatola potenziale sono:

• Ψ(0)=0
• Ψ(l)=0

Dalla prima condizione segue che B=0, e dalla seconda condizione segue che k=nπ/l, dove n è un numero intero.

Quindi l'equazione per la funzione d'onda assumerà la forma:

Ψ(x)=Asen(nπx/l)

Troviamo la costante A. Usando la condizione di normalizzazione, otteniamo:

∫Ψ^2(x)dx=1

∫Asin^2(nπx/l)dx=1

A^2*l/2=1

A=quadrato(2/l)

Pertanto, la funzione d'onda di un elettrone in una scatola potenziale di larghezza l ha la forma:

Ψn(x)=quadrato(2/l)*sen(nπx/l)

dove n è un numero intero.

I punti in cui un elettrone può trovarsi nell'intervallo (0,l) sono determinati dalle condizioni:

• Ψn(0)≠0
• Ψn(l)≠0

Tenendo conto della forma della funzione d'onda, otteniamo:

• Ψn(0)=quadrato(2/l)*sen(0)=0
• Ψn(l)=sqrt(2/l)*sin(nπ)=0 e n=1,2,3,.

Pertanto, l'elettrone può essere localizzato nei punti:

x=k*l/(2n+1), dove k=1,2,3,... e n=0,1,2,3,...

Se avete domande sulla soluzione scrivete. Proverò ad aiutare.

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