El electrón está en una caja de potencial de ancho l.

Hay un electrón en una caja de potencial de ancho l. Es necesario encontrar puntos en los que pueda estar en el intervalo (0,l). La solución al problema 60307 se presenta a continuación.

Escribamos la ecuación de Schrödinger para el caso unidimensional:

HΨ=EΨ

donde H es el operador de Hamilton, Ψ es la función de onda, E es la energía del electrón.

En una caja potencial, la energía potencial es cero, es decir V(x)=0. Entonces el operador de Hamilton tiene la forma:

H=-(h^2/2m) * d^2/dx^2

donde h es la constante de Planck, m es la masa del electrón.

Buscamos una solución a la ecuación de Schrödinger en la forma:

Ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)

donde A y B son constantes, k=sqrt(2mE)/h.

Las condiciones para que un electrón esté en una caja de potencial son:

• Ψ(0)=0
• Ψ(l)=0

De la primera condición se sigue que B=0, y de la segunda condición se sigue que k=nπ/l, donde n es un número entero.

Entonces la ecuación de la función de onda tomará la forma:

Ψ(x)=Asín(nπx/l)

Encontremos la constante A. Usando la condición de normalización, obtenemos:

∫Ψ^2(x)dx=1

∫Asín^2(nπx/l)dx=1

A^2*l/2=1

A=sqrt(2/l)

Por tanto, la función de onda de un electrón en una caja de potencial de ancho l tiene la forma:

Ψn(x)=sqrt(2/l)*sin(nπx/l)

donde n es un número entero.

Los puntos en los que puede estar un electrón en el intervalo (0,l) están determinados por las condiciones:

• Ψn(0)≠0
• Ψn(l)≠0

Teniendo en cuenta la forma de la función de onda, obtenemos:

• Ψn(0)=sqrt(2/l)*sin(0)=0
• Ψn(l)=sqrt(2/l)*sin(nπ)=0 y n=1,2,3,.

Así, el electrón se puede ubicar en los puntos:

x=k*l/(2n+1), donde k=1,2,3,... y n=0,1,2,3,...

Si tiene alguna pregunta sobre la solución, por favor escriba. Trataré de ayudar.

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