IDZ 11.3 – 옵션 13. 솔루션 Ryabushko A.P.

1. 미분방정식에 대한 일반적인 해를 찾아봅시다: a) 9y΄΄+ 6y΄ + y = 0; 특성 방정식: 9λ² + 6λ + 1 = 0 D = 36 - 4*9 = 0 λ₁ = λ² = -1/3 y₁(x) = e^(-x/3) y²(x) = xe^(-x /3) Y(x) = c₁e^(-x/3) + c²xe^(-x/3)

b) y΄΄- 4y΄- 21y = 0; 특성 방정식: λ² - 4λ - 21 = 0 D = 16 + 84 = 100 λ₁ = 7, λ² = -3 y₁(x) = e^(7x) y²(x) = e^(-3x) Y(x) = c₁e^(7x) + c²e^(-3x)

c) y΄΄+ y = 0 특성 방정식: λ² + 1 = 0 D = -4 λ₁ = i, λ₂ = -i y₁(x) = cos(x) y₂(x) = sin(x) Y(x ) = c₁cos(x) + c²sin(x)

1. 미분 방정식의 일반 해를 구해 봅시다: y΄΄ – 8y΄ + 12y = 36x^4 – 96x^3 + 24x^2 + 16x – 2 특성 방정식: λ² - 8λ + 12 = 0 D = 64 - 48 = 16 λ₁ = 6 , λ₂ = 2 y₁(x) = e^(6x) y²(x) = e^(2x) Yh(x) = c₁e^(6x) + c²e^(2x)

부정 계수 방법을 사용하여 불균일 방정식의 특정 해 y_p(x)를 찾아보겠습니다. y_p(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E y΄(x) = 4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx + D y΄΄(x) = 12Ax^2 + 6Bx + 2C 방정식에 대입: 12Ax^2 + 6Bx + 2C - 8(4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx + D) + 12(Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E) = 36x^4 – 96x^3 + 24x^2 + 16x – 2 12A = 36, -32A + 6B = -96, 20A - 24B + 2C = 24, -8A + 12B - 8C + 2D = 16, 12A - 8B + 12C - 8D + 12E = -2 A = 3, B = 9/4, C = -27/8, D = -21/16 , E = -131/288 Yp( x) = 3x^4 + (9/4)x^3 - (27/8)x^2 - (21/16)x - 131/288 Y(x) = Yh (x) + Yp(x)

1. 미분 방정식의 일반 해를 구해 봅시다: y΄΄ + 4y΄ + 4y = 6e^(-2x) 특성 방정식: λ² + 4λ + 4 = 0 D = 16 - 16 = 0 λ₁ = λ² = -2 y₁( x) = e ^(-2x) y²(x) = xe^(-2x) Yh(x) = c₁e^(-2x) + c²xe^(-2x)

상수 변형 방법을 사용하여 불균일 방정식의 특정 해 y_p(x)를 찾아보겠습니다. 해를 y(x) = u(x)e^(-2x) y΄(x) 형식으로 제시하겠습니다. = u΄(x)e^(-2x) - 2u(x)e^(-2x) y΄΄(x) = u΄΄(x)e^(-2x) - 4u΄(x)e^ (-2x) + 4u(x)e^(- 2x) 방정식에 대입: u΄΄(x)e^(-2x) + 2u΄(x)e^(-2x) = 6 양변을 적분합니다: u΄(x)e^(-2x) = 3x + c₁ u(x) = -3/2x^2 - c₁/2x + c² Yp(x) = (-3/2x^2 - c₁/2x + c₂ )e^(-2x) Y(x) = Yh(x) + Yp(x)

1. 주어진 초기 조건을 만족하는 미분 방정식의 특정 해를 찾아보겠습니다: y΄΄− 6y΄ + 25y = (32x – 12)sin(3x) – 36xcos(3x), y(0) = 4, y΄ (0) = 0 특성 방정식: λ² - 6λ + 25 = 0 D = 36 - 100 = -64 λ₁ = 3 - 4i, λ₂ = 3 + 4i y₁(x) = e^(3x)sin(4x) y²( x) = e^( 3x)cos(4x) Yh(x) = e^(3x)(c₁sin(4x) + c²cos(4x))

부정 계수 방법을 사용하여 불균일 방정식의 특정 해 y_p(x)를 구해 보겠습니다. y_p(x) = A(x)sin(3x) + B(x)cos(3x) y΄(x) = 3A (x)cos(3x) - 3B(x)sin(3x) + 32 y΄΄(x) = -9A(x)sin(3x) - 9B(x)cos(3x) 방정식에 대입: -9A (x)sin(3x) - 9B (x)cos(3x) - 6(3A(x)cos(3x) - 3B(x)sin(3x) + 32) + 25(A(x)sin(3x) + B(x)cos(3x) ) = (32x - 12)sin(3x) - 36xcos(3x) -18A(x) + 25A(x) = -36x, -18B(x) + 25B(x) = 32 A(x) = 4x/7 , B(x) = 32/7 Yp(x) = (4x/7)sin(3x) + (32/7)cos(3x) Y(x) = Yh(x ) + Yp(x) 초기 조건을 대입하고 상수를 찾습니다: Y(0) = c² = 4 Y΄(0) = 3c₁ + 32/7 = 0 => c₁ = -32/21 Y(x) = e ^(3x)(-4/3sin(4x) + 32/21cos(4x)) + (4x/7)sin(3x) + (32/7)cos(3x)

1. 함수 f(x)의 형식으로 선형 불균일 미분 방정식의 특정 해 y*(x)의 구조를 정의하고 작성해 보겠습니다. y΄΄– 6y΄ + 9y = f(x) a) f( x) = (x – 2)e^ (3x) 특성 방정식: λ² - 6λ + 9 = 0 (λ - 3)² = 0 => λ₁ = λ₂ = 3 y₁(x) =

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IDZ 11.3 – 옵션 13. 솔루션 Ryabushko A.P. 다섯 가지 문제로 구성된 미분방정식의 해법 모음입니다. 각 문제는 해결해야 할 미분방정식입니다.

첫 번째 문제에서는 점 a)에서 9y΄΄+ 6y΄ + y = 0 형식을 갖는 미분 방정식에 대한 일반적인 해를 찾아야 합니다. 점 b) 및 점 c)에서 y΄΄+ y = 0 형식입니다.

두 번째 문제에서는 y΄΄ – 8y΄ + 12y = 36x4 – 96x3 + 24x2 + 16x – 2 형식의 미분 방정식에 대한 일반적인 해를 찾아야 합니다.

세 번째 문제는 y΄΄ + 4y΄ + 4y = 6e–2x 형식의 미분 방정식에 대한 일반적인 해를 구해야 합니다.

네 번째 문제에서는 y(0) = 4이고 y인 경우 y΄΄− 6y΄ + 25y = (32x – 12)sin3x – 36xcos3x 형식의 미분 방정식에 대한 특정 해를 찾아야 합니다. ΄(0) = 0.

다섯 번째 문제에서는 y΄΄– 6y΄ 형식을 갖는 함수 f(x)의 형태로 선형 불균일 미분 방정식의 특정 해 y*의 구조를 결정하고 적어야 합니다. + 9y = f(x). a)에서 함수 f(x)는 (x – 2)e3x와 같고, b)에서 함수 f(x)는 4cosx와 같습니다.

각 문제에는 수식 편집기를 사용하여 Microsoft Word 2003에서 설계된 상세한 솔루션이 있습니다.

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