IDZ 11.3 – Option 13. Solutions Ryabushko A.P.

Trouvons la solution générale des équations différentielles : a) 9y΄΄+ 6y΄ + y = 0 ; Équation caractéristique : 9λ² + 6λ + 1 = 0 D = 36 - 4*9 = 0 λ₁ = λ₂ = -1/3 y₁(x) = e^(-x/3) y₂(x) = xe^(-x /3) Y(x) = c₁e^(-x/3) + c₂xe^(-x/3)

b) y΄΄− 4y΄− 21y = 0 ; Équation caractéristique : λ² - 4λ - 21 = 0 D = 16 + 84 = 100 λ₁ = 7, λ₂ = -3 y₁(x) = e^(7x) y₂(x) = e^(-3x) Y(x) = c₁e^(7x) + c₂e^(-3x)

c) y΄΄+ y = 0 Équation caractéristique : λ² + 1 = 0 D = -4 λ₁ = i, λ₂ = -i y₁(x) = cos(x) y₂(x) = sin(x) Y(x ) = c₁cos(x) + c₂sin(x)

Trouvons la solution générale de l'équation différentielle : y΄΄ – 8y΄ + 12y = 36x^4 – 96x^3 + 24x^2 + 16x – 2 Équation caractéristique : λ² - 8λ + 12 = 0 D = 64 - 48 = 16 λ₁ = 6 , λ₂ = 2 y₁(x) = e^(6x) y₂(x) = e^(2x) Yh(x) = c₁e^(6x) + c₂e^(2x)

Trouvons une solution particulière y_p(x) de l'équation inhomogène par la méthode des coefficients indéfinis : y_p(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E y΄(x) = 4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx + D y΄΄(x) = 12Ax^2 + 6Bx + 2C Remplacer dans l'équation : 12Ax^2 + 6Bx + 2C - 8(4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx + D) + 12(Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E) = 36x^4 – 96x^3 + 24x^2 + 16x – 2 12A = 36, -32A + 6B = -96, 20A - 24B + 2C = 24, -8A + 12B - 8C + 2D = 16, 12A - 8B + 12C - 8D + 12E = -2 A = 3, B = 9/4, C = -27/8, D = -21/16 , E = -131/288 Yp(x) = 3x^4 + (9/4)x^3 - (27/8)x^2 - (21/16)x - 131/288 Y(x) = Yh (x) + Yp(x)

Trouvons la solution générale de l'équation différentielle : y΄΄ + 4y΄ + 4y = 6e^(-2x) Équation caractéristique : λ² + 4λ + 4 = 0 D = 16 - 16 = 0 λ₁ = λ₂ = -2 y₁( x) = e ^(-2x) y₂(x) = xe^(-2x) Yh(x) = c₁e^(-2x) + c₂xe^(-2x)

Trouvons une solution particulière y_p(x) de l'équation inhomogène par la méthode de variation des constantes : Présentons la solution sous la forme y(x) = u(x)e^(-2x) y΄(x) = u΄(x)e^(-2x) - 2u(x)e^(-2x) y΄΄(x) = u΄΄(x)e^(-2x) - 4u΄(x)e^ (-2x) + 4u(x)e^(- 2x) Remplacer dans l'équation : u΄΄(x)e^(-2x) + 2u΄(x)e^(-2x) = 6 Intégrer les deux côtés : u΄(x)e^(-2x) = 3x + c₁ u(x) = -3/2x^2 - c₁/2x + c₂ Yp(x) = (-3/2x^2 - c₁/2x + c₂ )e^(-2x) Y(x) = Yh(x) + Yp(x)

Trouvons une solution particulière à l'équation différentielle qui satisfait les conditions initiales données : y΄΄− 6y΄ + 25y = (32x – 12)sin(3x) – 36xcos(3x), y(0) = 4, y΄ (0) = 0 Équation caractéristique : λ² - 6λ + 25 = 0 D = 36 - 100 = -64 λ₁ = 3 - 4i, λ₂ = 3 + 4i y₁(x) = e^(3x)sin(4x) y₂( x) = e^( 3x)cos(4x) Yh(x) = e^(3x)(c₁sin(4x) + c₂cos(4x))

Trouvons une solution particulière y_p(x) de l'équation inhomogène par la méthode des coefficients indéfinis : y_p(x) = A(x)sin(3x) + B(x)cos(3x) y΄(x) = 3A (x)cos(3x) - 3B(x)sin(3x) + 32 y΄΄(x) = -9A(x)sin(3x) - 9B(x)cos(3x) Remplacer dans l'équation : -9A (x) péché (3x) - 9B (x) cos (3x) - 6 (3A (x) cos (3x) - 3B (x) péché (3x) + 32) + 25 (A (x) péché (3x) + B(x)cos(3x) ) = (32x - 12)sin(3x) - 36xcos(3x) -18A(x) + 25A(x) = -36x, -18B(x) + 25B(x) = 32 A(x) = 4x/7 , B(x) = 32/7 Yp(x) = (4x/7)sin(3x) + (32/7)cos(3x) Y(x) = Yh(x ) + Yp(x) Remplacez les conditions initiales et trouvez les constantes : Y(0) = c₂ = 4 Y΄(0) = 3c₁ + 32/7 = 0 => c₁ = -32/21 Y(x) = e ^(3x)(-4/3sin(4x ) + 32/21cos(4x)) + (4x/7)sin(3x) + (32/7)cos(3x)

Définissons et écrivons la structure d'une solution particulière y*(x) d'une équation différentielle inhomogène linéaire sous la forme de la fonction f(x) : y΄΄– 6y΄ + 9y = f(x) a) f( x) = (x – 2)e^ (3x) Équation caractéristique : λ² - 6λ + 9 = 0 (λ - 3)² = 0 => λ₁ = λ₂ = 3 y₁(x) =

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IDZ 11.3 – Option 13. Solutions Ryabushko A.P. est un ensemble de solutions à des équations différentielles composées de cinq problèmes. Chaque problème est une équation différentielle qui doit être résolue.

Dans le premier problème, vous devez trouver une solution générale à l'équation différentielle, qui a la forme 9y΄΄+ 6y΄ + y = 0 au point a), la forme y΄΄− 4y΄− 21y = 0 au point b) et la forme y΄΄+ y = 0 au point c).

Dans le deuxième problème, il faut trouver une solution générale à l’équation différentielle, qui a la forme y΄΄ – 8y΄ + 12y = 36x4 – 96x3 + 24x2 + 16x – 2.

Le troisième problème nécessite de trouver une solution générale à l’équation différentielle, qui a la forme y΄΄ + 4y΄ + 4y = 6e–2x.

Dans le quatrième problème, il faut trouver une solution particulière à l’équation différentielle, qui a la forme y΄΄− 6y΄ + 25y = (32x – 12)sin3x – 36xcos3x, à condition que y(0) = 4 et y ΄(0) = 0.

Dans le cinquième problème, il est nécessaire de déterminer et d'écrire la structure d'une solution particulière y* d'une équation différentielle inhomogène linéaire en termes de forme de la fonction f(x), qui a la forme y΄΄– 6y΄ + 9y = f(x). Au point a) la fonction f(x) est égale à (x – 2)e3x, et au point b) la fonction f(x) est égale à 4cosx.

Chaque problème a une solution détaillée, conçue dans Microsoft Word 2003 à l'aide de l'éditeur de formules.

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