IDZ 11.3 – Επιλογή 13. Λύσεις Ryabushko A.P.

1. Ας βρούμε τη γενική λύση των διαφορικών εξισώσεων: α) 9y΄΄+ 6y΄ + y = 0; Χαρακτηριστική εξίσωση: 9λ² + 6λ + 1 = 0 D = 36 - 4*9 = 0 λ1 = λ2 = -1/3 y1(x) = e^(-x/3) y2(x) = xe^(-x /3) Y(x) = c1e^(-x/3) + c2xe^(-x/3)

β) y΄΄− 4y΄− 21y = 0; Χαρακτηριστική εξίσωση: λ² - 4λ - 21 = 0 D = 16 + 84 = 100 λ1 = 7, λ2 = -3 y1(x) = e^(7x) y2(x) = e^(-3x) Y(x) = c1e^(7x) + c2e^(-3x)

γ) y΄΄+ y = 0 Χαρακτηριστική εξίσωση: λ² + 1 = 0 D = -4 λ1 = i, λ2 = -i y1(x) = cos(x) y2(x) = sin(x) Y(x ) = c1cos(x) + c2sin(x)

1. Ας βρούμε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης: y΄΄ – 8y΄ + 12y = 36x^4 – 96x^3 + 24x^2 + 16x – 2 Χαρακτηριστική εξίσωση: λ² - 8λ + 12 = 0 D = 64 - 48 = 16 λ1 = 6, λ2 = 2 y1(x) = e^(6x) y2(x) = e^(2x) Yh(x) = c1e^(6x) + c2e^(2x)

Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση y_p(x) της ανομοιογενούς εξίσωσης με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών: y_p(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E y΄(x) = 4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx + D y΄΄(x) = 12Ax^2 + 6Bx + 2C Αντικαταστήστε στην εξίσωση: 12Ax^2 + 6Bx + 2C - 8(4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx + D) + 12(Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E) = 36x^4 – 96x^3 + 24x^2 + 16x – 2 12A = 36, -32A + 6B = -96, 20A - 24B + 2C = 24, -8A + 12B - 8C + 2D = 16, 12A - 8B + 12C - 8D + 12E = -2 A = 3, B = 9/4, C = -27/8, D = -21/16 , E = -131/288 Yp( x) = 3x^4 + (9/4)x^3 - (27/8)x^2 - (21/16)x - 131/288 Y(x) = Yh (x) + Yp(x)

1. Ας βρούμε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης: y΄΄ + 4y΄ + 4y = 6e^(-2x) Χαρακτηριστική εξίσωση: λ² + 4λ + 4 = 0 D = 16 - 16 = 0 λ1 = λ2 = -2 y1( x) = e ^(-2x) y2(x) = xe^(-2x) Yh(x) = c1e^(-2x) + c2xe^(-2x)

Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση y_p(x) της ανομοιογενούς εξίσωσης με τη μέθοδο της μεταβολής των σταθερών: Ας παρουσιάσουμε τη λύση με τη μορφή y(x) = u(x)e^(-2x) y΄(x) = u΄(x)e^(-2x) - 2u(x)e^(-2x) y΄΄(x) = u΄΄(x)e^(-2x) - 4u΄(x)e^ (-2x) + 4u(x)e^(- 2x) Αντικαταστήστε στην εξίσωση: u΄΄(x)e^(-2x) + 2u΄(x)e^(-2x) = 6 Ενσωματώστε και τις δύο πλευρές: u΄(x)e^(-2x) = 3x + c1 u(x) = -3/2x^2 - c1/2x + c2 Yp(x) = (-3/2x^2 - c1/2x + c2 )e^(-2x) Y(x) = Yh( x) + Yp(x)

1. Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες: y΄΄− 6y΄ + 25y = (32x – 12)sin(3x) – 36xcos(3x), y(0) = 4, y΄ (0) = 0 Χαρακτηριστική εξίσωση: λ² - 6λ + 25 = 0 D = 36 - 100 = -64 λ1 = 3 - 4i, λ2 = 3 + 4i y1(x) = e^(3x)sin(4x) y2( x) = e^( 3x)cos(4x) Yh(x) = e^(3x)(c1sin(4x) + c2cos(4x))

Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση y_p(x) της ανομοιογενούς εξίσωσης με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών: y_p(x) = A(x)sin(3x) + B(x)cos(3x) y΄(x) = 3A (x)cos(3x) - 3B(x)sin(3x) + 32 y΄΄(x) = -9A(x)sin(3x) - 9B(x)cos(3x) Αντικαταστήστε στην εξίσωση: -9A (x)sin(3x) - 9B (x)cos(3x) - 6(3A(x)cos(3x) - 3B(x)sin(3x) + 32) + 25(A(x)sin(3x) + B(x)cos(3x) ) = (32x - 12)sin(3x) - 36xcos(3x) -18A(x) + 25A(x) = -36x, -18B(x) + 25B(x) = 32 A(x) = 4x/7 , B(x) = 32/7 Yp(x) = (4x/7)sin(3x) + (32/7)cos(3x) Y(x) = Yh(x) ) + Yp(x) Αντικαταστήστε τις αρχικές συνθήκες και βρείτε τις σταθερές: Y(0) = c₂ = 4 Y΄(0) = 3c1 + 32/7 = 0 => c1 = -32/21 Y(x) = e ^(3x)(-4/3sin(4x) + 32/21cos(4x)) + (4x/7)sin(3x) + (32/7)cos(3x)

1. Ας προσδιορίσουμε και γράψουμε τη δομή μιας συγκεκριμένης λύσης y*(x) μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης με τη μορφή της συνάρτησης f(x): y΄΄– 6y΄ + 9y = f(x) a) f( x) = (x – 2)e^ (3x) Χαρακτηριστική εξίσωση: λ² - 6λ + 9 = 0 (λ - 3)² = 0 => λ1 = λ2 = 3 y1(x) =

Αυτό το προϊόν είναι ένα ψηφιακό προϊόν που προσφέρεται στο Digital Product Store. Αυτή είναι μια λύση στο πρόβλημα IDZ 11.3, Επιλογή 13, που εκπονήθηκε από τον συγγραφέα Ryabushko A.P.

Λύση IDZ 11.3 - Η επιλογή 13 περιλαμβάνει μια λεπτομερή περιγραφή της λύσης του προβλήματος, καθώς και μια εξήγηση βήμα προς βήμα όλων των βημάτων που απαιτούνται για την επίλυσή του.

Το προϊόν έχει σχεδιαστεί σε μια όμορφη μορφή html, η οποία το καθιστά εύκολο στην ανάγνωση και κατανόηση. Όλοι οι τύποι και τα γραφήματα παρουσιάζονται σε σαφή και οπτική μορφή, η οποία καθιστά εύκολη την κατανόηση της λύσης του προβλήματος και την παρακολούθηση κάθε βήματος της λύσης.

Αυτό το προϊόν είναι μια εξαιρετική επιλογή για όσους αναζητούν υψηλής ποιότητας και λεπτομερές υλικό για προετοιμασία για εξετάσεις ή για εργασία στον τομέα των μαθηματικών.

Αυτό το προϊόν είναι μια λύση στο πρόβλημα IDZ 11.3 – Επιλογή 13, η οποία περιλαμβάνει λεπτομερή περιγραφή της λύσης διαφορικών εξισώσεων και μεθόδων επίλυσής τους. Το διάλυμα παρασκευάστηκε από τον συγγραφέα Ryabushko A.P. και έχει σχεδιαστεί σε μια όμορφη μορφή html, που το καθιστά εύκολο στην ανάγνωση και κατανόηση.

Το προϊόν περιλαμβάνει μια επεξήγηση βήμα προς βήμα όλων των βημάτων που απαιτούνται για την επίλυση του προβλήματος και παρέχει επίσης όλους τους απαραίτητους τύπους και γραφήματα με σαφή και οπτικό τρόπο.

Αυτό το προϊόν μπορεί να είναι χρήσιμο σε μαθητές και καθηγητές που μελετούν διαφορικές εξισώσεις και τις λύσεις τους. Είναι μια εξαιρετική επιλογή για όσους αναζητούν υψηλής ποιότητας και λεπτομερές υλικό για τη μελέτη αυτού του θέματος.

***

IDZ 11.3 – Επιλογή 13. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι ένα σύνολο λύσεων διαφορικών εξισώσεων που αποτελείται από πέντε προβλήματα. Κάθε πρόβλημα είναι μια διαφορική εξίσωση που πρέπει να λυθεί.

Στο πρώτο πρόβλημα, απαιτείται να βρεθεί μια γενική λύση στη διαφορική εξίσωση, η οποία έχει τη μορφή 9y΄+ 6y΄ + y = 0 στο σημείο α), τη μορφή y΄΄− 4y΄− 21y = 0 in σημείο β) και τη μορφή y΄΄+ y = 0 στο σημείο γ).

Στο δεύτερο πρόβλημα, είναι απαραίτητο να βρεθεί μια γενική λύση στη διαφορική εξίσωση, η οποία έχει τη μορφή y΄΄ – 8y΄ + 12y = 36x4 – 96x3 + 24x2 + 16x – 2.

Το τρίτο πρόβλημα απαιτεί την εύρεση μιας γενικής λύσης στη διαφορική εξίσωση, η οποία έχει τη μορφή y΄΄ + 4y΄ + 4y = 6e–2x.

Στο τέταρτο πρόβλημα, είναι απαραίτητο να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση, η οποία έχει τη μορφή y΄΄− 6y΄ + 25y = (32x – 12)sin3x – 36xcos3x, με την προϋπόθεση ότι y(0) = 4 και y ΄(0) = 0.

Στο πέμπτο πρόβλημα απαιτείται ο προσδιορισμός και η καταγραφή της δομής μιας συγκεκριμένης λύσης y* μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης ως προς τη μορφή της συνάρτησης f(x), η οποία έχει τη μορφή y΄΄– 6y΄. + 9y = f(x). Στο σημείο α) η συνάρτηση f(x) είναι ίση με (x – 2)e3x, και στο σημείο β) η συνάρτηση f(x) είναι ίση με 4cosx.

Κάθε πρόβλημα έχει μια λεπτομερή λύση, σχεδιασμένη στο Microsoft Word 2003 χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα επεξεργασίας τύπων.

***

1. Καταπληκτικό ψηφιακό προϊόν! Οι λύσεις σε προβλήματα στην επιλογή 13 του IDZ 11.3 είναι εξαιρετικά ακριβείς και σαφείς.
2. Είμαι πολύ ευχαριστημένος με την αγορά αυτού του ψηφιακού προϊόντος. Αποφάσεις Ryabushko A.P. με βοήθησε να ολοκληρώσω με επιτυχία τις εργασίες της επιλογής 13 του IDZ 11.3.
3. Υπέροχο ψηφιακό προϊόν! Οι λύσεις σε προβλήματα στην έκδοση 13 του IDZ 11.3 είναι εύχρηστες και σας επιτρέπουν να ολοκληρώσετε γρήγορα και αποτελεσματικά την εργασία σας.
4. Αυτό το ψηφιακό αντικείμενο αξίζει κάθε δεκάρα! Αποφάσεις Ryabushko A.P. με βοήθησε να κατανοήσω βαθιά το υλικό της επιλογής 13 του IDZ 11.3.
5. Εξαιρετικό ψηφιακό προϊόν! Λύσεις στα προβλήματα του IDZ 11.3 – Επιλογή 13 από τον συγγραφέα Ryabushko A.P. είναι απαραίτητος βοηθός για όλους τους μαθητές.
6. Θα πρότεινα ευχαρίστως αυτό το ψηφιακό προϊόν σε όλους τους φίλους και γνωστούς μου. Αποφάσεις Ryabushko A.P. είναι ο καλύτερος τρόπος για να ολοκληρώσετε με επιτυχία την εργασία σας στα μαθηματικά.
7. Αυτό το ψηφιακό προϊόν ξεπέρασε τις προσδοκίες μου! Λύσεις σε προβλήματα της επιλογής 13 IDZ 11.3 από την Ryabushko A.P. με βοήθησε να κατανοήσω καλύτερα την ύλη και να προετοιμαστώ για τις εξετάσεις.

Ιδιαιτερότητες:

Εξαιρετική λύση για την προετοιμασία για τις εξετάσεις μαθηματικών.

Λύσεις Ryabushko A.P. με βοήθησε να κατανοήσω καλύτερα την ύλη και να περάσω με επιτυχία την εργασία.

Μια πολύ βολική μορφή παρουσίασης λύσεων σε προβλήματα.

Ευχαριστώ τον συγγραφέα για μια απλή και προσιτή γλώσσα.

Μια καλή επιλογή για όσους θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά.

Η γρήγορη πρόσβαση σε λύσεις προβλημάτων μπορεί να εξοικονομήσει πολύ χρόνο.

Λύσεις Ryabushko A.P. πολύ χρήσιμο για αυτοπροετοιμασία για τις εξετάσεις.