IDZ 11.3 – Option 13. Lösungen Ryabushko A.P.

1. Finden wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichungen: a) 9y΄΄+ 6y΄ + y = 0; Charakteristische Gleichung: 9λ² + 6λ + 1 = 0 D = 36 - 4*9 = 0 λ₁ = λ₂ = -1/3 y₁(x) = e^(-x/3) y₂(x) = xe^(-x /3) Y(x) = c₁e^(-x/3) + c₂xe^(-x/3)

b) y΄΄− 4y΄− 21y = 0; Charakteristische Gleichung: λ² - 4λ - 21 = 0 D = 16 + 84 = 100 λ₁ = 7, λ₂ = -3 y₁(x) = e^(7x) y₂(x) = e^(-3x) Y(x) = c₁e^(7x) + c₂e^(-3x)

c) y΄΄+ y = 0 Charakteristische Gleichung: λ² + 1 = 0 D = -4 λ₁ = i, λ₂ = -i y₁(x) = cos(x) y₂(x) = sin(x) Y(x ) = c₁cos(x) + c₂sin(x)

1. Finden wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: y΄΄ – 8y΄ + 12y = 36x^4 – 96x^3 + 24x^2 + 16x – 2 Charakteristische Gleichung: λ² - 8λ + 12 = 0 D = 64 - 48 = 16 λ₁ = 6 , λ₂ = 2 y₁(x) = e^(6x) y₂(x) = e^(2x) Yh(x) = c₁e^(6x) + c₂e^(2x)

Finden wir eine bestimmte Lösung y_p(x) der inhomogenen Gleichung mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten: y_p(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E y΄(x) = 4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx + D y΄΄(x) = 12Ax^2 + 6Bx + 2C Setze in die Gleichung ein: 12Ax^2 + 6Bx + 2C - 8(4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx + D) + 12(Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E) = 36x^4 – 96x^3 + 24x^2 + 16x – 2 12A = 36, -32A + 6B = -96, 20A - 24B + 2C = 24, -8A + 12B - 8C + 2D = 16, 12A - 8B + 12C - 8D + 12E = -2 A = 3, B = 9/4, C = -27/8, D = -21/16 , E = -131/288 Yp( x) = 3x^4 + (9/4)x^3 - (27/8)x^2 - (21/16)x - 131/288 Y(x) = Yh (x) + Yp(x)

1. Finden wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: y΄΄ + 4y΄ + 4y = 6e^(-2x) Charakteristische Gleichung: λ² + 4λ + 4 = 0 D = 16 - 16 = 0 λ₁ = λ₂ = -2 y₁( x) = e ^(-2x) y₂(x) = xe^(-2x) Yh(x) = c₁e^(-2x) + c₂xe^(-2x)

Finden wir eine bestimmte Lösung y_p(x) der inhomogenen Gleichung durch die Methode der Konstantenvariation: Stellen wir die Lösung in der Form y(x) = u(x)e^(-2x) y΄(x) dar. = u΄(x)e^(-2x) - 2u(x)e^(-2x) y΄΄(x) = u΄΄(x)e^(-2x) - 4u΄(x)e^ (-2x) + 4u(x)e^(- 2x) Setze in die Gleichung ein: u΄΄(x)e^(-2x) + 2u΄(x)e^(-2x) = 6 Integriere beide Seiten: u΄(x)e^(-2x) = 3x + c₁ u(x) = -3/2x^2 - c₁/2x + c₂ Yp(x) = (-3/2x^2 - c₁/2x + c₂ )e^(-2x) Y(x) = Yh( x) + Yp(x)

1. Finden wir eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die gegebenen Anfangsbedingungen erfüllt: y΄΄− 6y΄ + 25y = (32x – 12)sin(3x) – 36xcos(3x), y(0) = 4, y΄ (0) = 0 Charakteristische Gleichung: λ² - 6λ + 25 = 0 D = 36 - 100 = -64 λ₁ = 3 - 4i, λ₂ = 3 + 4i y₁(x) = e^(3x)sin(4x) y₂( x) = e^( 3x)cos(4x) Yh(x) = e^(3x)(c₁sin(4x) + c₂cos(4x))

Finden wir eine bestimmte Lösung y_p(x) der inhomogenen Gleichung mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten: y_p(x) = A(x)sin(3x) + B(x)cos(3x) y΄(x) = 3A (x)cos(3x) - 3B(x)sin(3x) + 32 y΄΄(x) = -9A(x)sin(3x) - 9B(x)cos(3x) Setzen Sie in die Gleichung ein: -9A (x)sin(3x) - 9B (x)cos(3x) - 6(3A(x)cos(3x) - 3B(x)sin(3x) + 32) + 25(A(x)sin(3x) + B(x)cos(3x) ) = (32x - 12)sin(3x) - 36xcos(3x) -18A(x) + 25A(x) = -36x, -18B(x) + 25B(x) = 32 A(x) = 4x/7 , B(x) = 32/7 Yp(x) = (4x/7)sin(3x) + (32/7)cos(3x) Y(x) = Yh(x ) + Yp(x) Ersetzen Sie die Anfangsbedingungen und finden Sie die Konstanten: Y(0) = c₂ = 4 Y΄(0) = 3c₁ + 32/7 = 0 => c₁ = -32/21 Y(x) = e ^(3x)(-4/3sin(4x ) + 32/21cos(4x)) + (4x/7)sin(3x) + (32/7)cos(3x)

1. Definieren und schreiben wir die Struktur einer bestimmten Lösung y*(x) einer linearen inhomogenen Differentialgleichung durch die Form der Funktion f(x): y΄΄– 6y΄ + 9y = f(x) a) f( x) = (x – 2)e^ (3x) Charakteristische Gleichung: λ² - 6λ + 9 = 0 (λ - 3)² = 0 => λ₁ = λ₂ = 3 y₁(x) =

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IDZ 11.3 – Option 13. Lösungen Ryabushko A.P. ist eine Lösungsmenge für Differentialgleichungen, die aus fünf Problemen besteht. Jedes Problem ist eine Differentialgleichung, die gelöst werden muss.

Im ersten Problem müssen Sie eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung finden, die in Punkt a die Form 9y΄΄+ 6y΄ + y = 0 und in Punkt a die Form y΄΄− 4y΄− 21y = 0 hat b) und die Form y΄΄+ y = 0 in Punkt c).

Im zweiten Problem gilt es, eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung zu finden, die die Form y΄΄ – 8y΄ + 12y = 36x4 – 96x3 + 24x2 + 16x – 2 hat.

Das dritte Problem erfordert die Suche nach einer allgemeinen Lösung der Differentialgleichung, die die Form y΄΄ + 4y΄ + 4y = 6e–2x hat.

Im vierten Problem ist es notwendig, eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung zu finden, die die Form y΄΄− 6y΄ + 25y = (32x – 12)sin3x – 36xcos3x hat, vorausgesetzt, dass y(0) = 4 und y ΄(0) = 0.

Im fünften Problem ist es erforderlich, die Struktur einer bestimmten Lösung y* einer linearen inhomogenen Differentialgleichung anhand der Form der Funktion f(x) zu bestimmen und aufzuschreiben, die die Form y΄΄– 6y΄ hat + 9y = f(x). In Punkt a) ist die Funktion f(x) gleich (x – 2)e3x und in Punkt b) ist die Funktion f(x) gleich 4cosx.

Für jedes Problem gibt es eine detaillierte Lösung, die in Microsoft Word 2003 mit dem Formeleditor entworfen wurde.

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