IDZ 11.3 – Opcja 13. Rozwiązania Ryabushko A.P.

Znajdźmy ogólne rozwiązanie równań różniczkowych: a) 9y΄΄+ 6y΄ + y = 0; Równanie charakterystyczne: 9λ² + 6λ + 1 = 0 D = 36 - 4*9 = 0 λ₁ = λ₂ = -1/3 y₁(x) = e^(-x/3) y₂(x) = xe^(-x /3) Y(x) = c₁e^(-x/3) + c₂xe^(-x/3)

b) y΄΄− 4y΄− 21y = 0; Równanie charakterystyczne: λ² - 4λ - 21 = 0 D = 16 + 84 = 100 λ₁ = 7, λ₂ = -3 y₁(x) = e^(7x) y₂(x) = e^(-3x) Y(x) = c₁e^(7x) + c₂e^(-3x)

c) y΄΄+ y = 0 Równanie charakterystyczne: λ² + 1 = 0 D = -4 λ₁ = i, λ₂ = -i y₁(x) = cos(x) y₂(x) = sin(x) Y(x ) = c₁cos(x) + c₂sin(x)

Znajdźmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego: y΄΄ – 8y΄ + 12y = 36x^4 – 96x^3 + 24x^2 + 16x – 2 Równanie charakterystyczne: λ² - 8λ + 12 = 0 D = 64 - 48 = 16 λ₁ = 6 , λ₂ = 2 y₁(x) = e^(6x) y₂(x) = e^(2x) Yh(x) = c₁e^(6x) + c₂e^(2x)

Znajdźmy szczególne rozwiązanie y_p(x) równania niejednorodnego metodą współczynników nieokreślonych: y_p(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E y΄(x) = 4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx + D y΄΄(x) = 12Ax^2 + 6Bx + 2C Podstaw do równania: 12Ax^2 + 6Bx + 2C - 8(4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx + D) + 12(Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E) = 36x^4 – 96x^3 + 24x^2 + 16x – 2 12A = 36, -32A + 6B = -96, 20A - 24B + 2C = 24, -8A + 12B - 8C + 2D = 16, 12A - 8B + 12C - 8D + 12E = -2 A = 3, B = 9/4, C = -27/8, D = -21/16 , E = -131/288 Yp( x) = 3x^4 + (9/4)x^3 - (27/8)x^2 - (21/16)x - 131/288 Y(x) = Yh (x) + Yp(x)

Znajdźmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego: y΄΄ + 4y΄ + 4y = 6e^(-2x) Równanie charakterystyczne: λ² + 4λ + 4 = 0 D = 16 - 16 = 0 λ₁ = λ₂ = -2 y₁( x) = e ^(-2x) y₂(x) = xe^(-2x) Yh(x) = c₁e^(-2x) + c₂xe^(-2x)

Znajdźmy szczególne rozwiązanie y_p(x) równania niejednorodnego metodą wariacji stałych: Przedstawmy rozwiązanie w postaci y(x) = u(x)e^(-2x) y΄(x) = u΄(x)e^(-2x) - 2u(x)e^(-2x) y΄΄(x) = u΄΄(x)e^(-2x) - 4u΄(x)e^ (-2x) + 4u(x)e^(- 2x) Podstaw do równania: u΄΄(x)e^(-2x) + 2u΄(x)e^(-2x) = 6 Całkuj obie strony: u΄(x)e^(-2x) = 3x + c₁ u(x) = -3/2x^2 - c₁/2x + c₂ Yp(x) = (-3/2x^2 - c₁/2x + c₂ )e^(-2x) Y(x) = Yh(x) + Yp(x)

Znajdźmy szczególne rozwiązanie równania różniczkowego, które spełnia podane warunki początkowe: y΄΄− 6y΄ + 25y = (32x – 12)sin(3x) – 36xcos(3x), y(0) = 4, y΄ (0) = 0 Równanie charakterystyczne: λ² - 6λ + 25 = 0 D = 36 - 100 = -64 λ₁ = 3 - 4i, λ₂ = 3 + 4i y₁(x) = e^(3x)sin(4x) y₂( x) = e^( 3x)cos(4x) Yh(x) = e^(3x)(c₁sin(4x) + c₂cos(4x))

Znajdźmy szczególne rozwiązanie y_p(x) równania niejednorodnego metodą współczynników nieokreślonych: y_p(x) = A(x)sin(3x) + B(x)cos(3x) y΄(x) = 3A (x)cos(3x) - 3B(x)sin(3x) + 32 y΄΄(x) = -9A(x)sin(3x) - 9B(x)cos(3x) Podstaw do równania: -9A (x)sin(3x) - 9B (x)cos(3x) - 6(3A(x)cos(3x) - 3B(x)sin(3x) + 32) + 25(A(x)sin(3x) + B(x)cos(3x) ) = (32x - 12)sin(3x) - 36xcos(3x) -18A(x) + 25A(x) = -36x, -18B(x) + 25B(x) = 32 A(x) = 4x/7 , B(x) = 32/7 Yp(x) = (4x/7)sin(3x) + (32/7)cos(3x) Y(x) = Yh(x ) + Yp(x) Podstaw warunki początkowe i znajdź stałe: Y(0) = c₂ = 4 Y΄(0) = 3c₁ + 32/7 = 0 => c₁ = -32/21 Y(x) = e ^(3x)(-4/3sin(4x ) + 32/21cos(4x)) + (4x/7)sin(3x) + (32/7)cos(3x)

Zdefiniujmy i zapiszmy strukturę konkretnego rozwiązania y*(x) liniowego niejednorodnego równania różniczkowego w postaci funkcji f(x): y΄΄– 6y΄ + 9y = f(x) a) f( x) = (x – 2)e^ (3x) Równanie charakterystyczne: λ² - 6λ + 9 = 0 (λ - 3)² = 0 => λ₁ = λ₂ = 3 y₁(x) =

Ten produkt jest produktem cyfrowym oferowanym w sklepie z produktami cyfrowymi. Jest to rozwiązanie problemu IDZ 11.3, opcja 13, przygotowane przez autora Ryabushko A.P.

Rozwiązanie IDZ 11.3 - Opcja 13 zawiera szczegółowy opis rozwiązania problemu, a także wyjaśnienie krok po kroku wszystkich kroków niezbędnych do jego rozwiązania.

Produkt został zaprojektowany w pięknym formacie HTML, dzięki czemu jest łatwy do odczytania i zrozumienia. Wszystkie wzory i wykresy przedstawione są w przejrzystej i wizualnej formie, co ułatwia zrozumienie rozwiązania problemu i prześledzenie każdego etapu rozwiązania.

Produkt ten jest doskonałym wyborem dla tych, którzy poszukują wysokiej jakości i szczegółowego materiału do przygotowania się do egzaminów lub odrabiania zadań domowych z zakresu matematyki.

Produkt ten jest rozwiązaniem problemu IDZ 11.3 – Opcja 13, który zawiera szczegółowy opis rozwiązania równań różniczkowych oraz metody ich rozwiązywania. Rozwiązanie przygotował autor Ryabushko A.P. i został zaprojektowany w pięknym formacie HTML, dzięki czemu jest łatwy do odczytania i zrozumienia.

Produkt zawiera krok po kroku wyjaśnienie wszystkich kroków niezbędnych do rozwiązania problemu, a także udostępnia wszystkie niezbędne wzory i wykresy w przejrzysty i wizualny sposób.

Ten produkt może być przydatny dla uczniów i nauczycieli studiujących równania różniczkowe i ich rozwiązania. Jest to doskonały wybór dla osób poszukujących wysokiej jakości i szczegółowego materiału do studiowania tego tematu.

***

IDZ 11.3 – Opcja 13. Rozwiązania Ryabushko A.P. jest zbiorem rozwiązań równań różniczkowych składającym się z pięciu problemów. Każdy problem jest równaniem różniczkowym, które należy rozwiązać.

W pierwszym zadaniu należy znaleźć ogólne rozwiązanie równania różniczkowego, które ma postać 9y΄΄+ 6y΄ + y = 0 w punkcie a), postać y΄΄− 4y΄− 21y = 0 w punkt b) i postać y΄΄+ y = 0 w punkcie c).

W drugim zadaniu konieczne jest znalezienie ogólnego rozwiązania równania różniczkowego, które ma postać y΄΄ – 8y΄ + 12y = 36x4 – 96x3 + 24x2 + 16x – 2.

Trzecie zadanie wymaga znalezienia ogólnego rozwiązania równania różniczkowego, które ma postać y΄΄ + 4y΄ + 4y = 6e–2x.

W zadaniu czwartym konieczne jest znalezienie konkretnego rozwiązania równania różniczkowego, które ma postać y΄΄− 6y΄ + 25y = (32x – 12)sin3x – 36xcos3x, pod warunkiem, że y(0) = 4 i y ΄(0) = 0.

W zadaniu piątym należy wyznaczyć i zapisać strukturę konkretnego rozwiązania y* liniowego niejednorodnego równania różniczkowego w postaci funkcji f(x), która ma postać y΄΄– 6y΄ + 9y = f(x). W punkcie a) funkcja f(x) jest równa (x – 2)e3x, a w punkcie b) funkcja f(x) jest równa 4cosx.

Każdy problem ma szczegółowe rozwiązanie, zaprojektowane w programie Microsoft Word 2003 przy użyciu edytora formuł.

***

Niesamowity produkt cyfrowy! Rozwiązania problemów w opcji 13 IDZ 11.3 są bardzo dokładne i przejrzyste.
Jestem bardzo zadowolony z zakupu tego produktu cyfrowego. Decyzje Ryabushko A.P. pomógł mi pomyślnie ukończyć zadania opcji 13 IDZ 11.3.
Fajny produkt cyfrowy! Rozwiązania problemów w wersji 13 IDZ 11.3 są łatwe w użyciu i pozwalają szybko i sprawnie odrobić pracę domową.
Ten cyfrowy przedmiot jest wart każdego grosza! Decyzje Ryabushko A.P. pomógł mi głęboko zrozumieć materiał opcji 13 IDZ 11.3.
Świetny produkt cyfrowy! Rozwiązania problemów IDZ 11.3 – Opcja 13 od autora Ryabushko A.P. są niezastąpionym pomocnikiem każdego ucznia.
Z radością poleciłbym ten produkt cyfrowy wszystkim moim przyjaciołom i znajomym. Decyzje Ryabushko A.P. to najlepszy sposób na pomyślne odrobienie zadania domowego z matematyki.
Ten produkt cyfrowy przekroczył moje oczekiwania! Rozwiązania problemów opcji 13 IDZ 11.3 firmy Ryabushko A.P. pomogły mi lepiej zrozumieć materiał i przygotować się do egzaminu.