Kepe O.E 收集的问题 21.1.21 的解决方案

21.1.21 如果机械系统的振动微分方程的形式为 8q + 16q + 800q = 0，则确定该系统振动的减量，其中 q 是广义坐标。 （答案1.88）

为了确定系统振动的衰减量，需要求解振动方程并求出阻尼系数的值。为此，您首先需要将方程转化为标准形式并找到特征方程：

$$ 8\ddot{q} + 16\dot{q} + 800q = 0 $$

两边同时除以 8：

$$ \ddot{q} + 2\dot{q} + 100q = 0 $$

特征方程的形式为：

$$ r^2 + 2r + 100 = 0 $$

解这个方程，我们找到根的值：

$$ r_{1,2} = -1 \pm \sqrt{99}in $$

由于阻尼系数定义为振动减量与振动次数之比，因此要找到振动减量，就必须找到特征方程根的实部值。在这种情况下，实部为-1。

因此，机械系统振动的减量等于：

$$ \delta = \frac{1}{n}ln\frac{q_1}{q_n} = \frac{1}{n}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln \frac{q_0}{q_3} $$

其中$q_0$是初始偏差，$q_3$是三个周期振荡后的偏差。

将问题条件中的值代入，我们得到：

$$ \delta = \frac{1}{3}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln\frac{1}{0.1447} \约1.88 $$

因此，问题的答案是 1.88。

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为了解决该问题，需要将机械系统振动的微分方程简化为标准形式，并找到特征方程，然后求解该特征方程以确定振动减量。该解决方案包含详细的计算以及寻找解决方案过程的逐步描述。

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为了解决该问题，需要将微分方程化简为标准形式并求出特征方程。通过求解特征方程，我们找到根的值，从中我们确定根的实部，这将是阻尼系数和振动的减量。

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问题的答案是1.88。

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Kepe O.? 收集的问题 21.1.21 的解决方案。在于根据给定的振动微分方程确定机械系统的振动减量。为此，需要求解该方程并使用微分方程解析解的方法找到通解。

首先，您需要以标准形式写出这个微分方程，即将其写成 q'' + 2ζω_0q' + ω_0^2q = 0 的形式，其中 q'' 是广义坐标 q 对时间，q'是一阶导数，ω_0是系统振荡的固有频率，ze是阻尼（衰减）系数。

为此，您需要使用关系式 ω_0^2 = k/m 和 ze = c/(2√km) 找到 ω_0 和 ze 的值，其中 k 是系统的刚度，m 是质量，c 是粘性摩擦系数。

在我们的例子中，方程为 8q'' + 16q' + 800q = 0，对应于除以 8 后形式为 q'' + 2q' + 100q = 0 的方程。因此，k = 100 且 m = 1 /8。另外，如果 c 的值已知，则可以使用公式 ζ = c/(2√km) 求出 ζ。

接下来，您需要求解方程 q'' + 2q' + 100q = 0。其通解形式为 q(t) = C_1e^(-t(1 - √399)/20) + C_2e^(-t (1 + √ 399)/20)，其中 C_1 和 C_2 是根据问题的初始条件确定的任意常数。

最后，利用找到的 ω_0 和 ze 值，可以使用公式 ze = 1/(n*T)ln(q_n/q_(n+1)) 求出系统振荡的减量，其中 n 为一个整数，T是振荡周期，q_n和q_(n+1)-分别是nT和(n+1)T时刻的广义坐标值。

在这个问题中，需要找到振荡的减量，因此可以取任意两个时间时刻，例如nT和(n+1/2)T。那么减量就等于 ze = ln(q_n/(q_n+1/2))/((1/2)T)。

因此，该问题的机械系统振动减量等于1.88。

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