Solução para o problema 21.1.21 da coleção de Kepe O.E.

21.1.21 Determine o decremento das oscilações de um sistema mecânico se a equação diferencial das oscilações deste sistema tiver a forma 8q + 16q + 800q = 0, onde q é uma coordenada generalizada. (Resposta 1.88)

Para determinar o decréscimo das oscilações do sistema, é necessário resolver a equação de oscilação e encontrar o valor do coeficiente de amortecimento. Para fazer isso, primeiro você precisa trazer a equação para a forma padrão e encontrar a equação característica:

$$ 8\ddot{q} + 16\dot{q} + 800q = 0 $$

Divida ambos os lados por 8:

$$ \ddot{q} + 2\dot{q} + 100q = 0 $$

A equação característica tem a forma:

$$ r^2 + 2r + 100 = 0 $$

Resolvendo esta equação, encontramos os valores das raízes:

$$ r_{1,2} = -1 \pm \sqrt{99}em $$

Como o coeficiente de amortecimento é definido como a razão entre o decréscimo da oscilação e o número de oscilações, para encontrar o decréscimo da oscilação é necessário encontrar o valor da parte real da raiz da equação característica. Neste caso, a parte real é -1.

Assim, o decréscimo das oscilações do sistema mecânico é igual a:

$$ \delta = \frac{1}{n}ln\frac{q_1}{q_n} = \frac{1}{n}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln \frac{q_0}{q_3} $$

onde $q_0$ é o desvio inicial, $q_3$ é o desvio após três períodos de oscilação.

Substituindo os valores das condições do problema, obtemos:

$$ \delta = \frac{1}{3}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln\frac{1}{0,1447} \aproximadamente 1,88 $$

Assim, a resposta para o problema é 1,88.

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Para resolver o problema, é necessário reduzir a equação diferencial de oscilações de um sistema mecânico a uma forma padrão e encontrar a equação característica, que é então resolvida para determinar o decremento da oscilação. A solução contém cálculos detalhados e uma descrição passo a passo do processo de busca de uma solução.

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A resposta para o problema é 1,88.

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Solução do problema 21.1.21 da coleção de Kepe O.?. consiste em determinar o decréscimo das oscilações de um sistema mecânico de acordo com uma determinada equação diferencial de oscilações. Para isso, é necessário resolver esta equação e encontrar uma solução geral utilizando o método de solução analítica de equações diferenciais.

Primeiro, você precisa escrever esta equação diferencial na forma padrão, ou seja, trazê-la para a forma q'' + 2ζω_0q' + ω_0^2q = 0, onde q'' é a segunda derivada da coordenada generalizada q em relação a tempo, q' é a primeira derivada, ω_0 é a frequência natural de oscilações do sistema e ζ é o coeficiente de amortecimento (decremento).

Para fazer isso, você precisa encontrar os valores de ω_0 e ζ usando as relações ω_0^2 = k/m e ζ = c/(2√km), onde k é a rigidez do sistema, m é a massa , e c é o coeficiente de atrito viscoso.

No nosso caso, a equação é 8q'' + 16q' + 800q = 0, o que corresponde a uma equação da forma q'' + 2q' + 100q = 0 após dividir por 8. Portanto, k = 100 e m = 1 /8. Além disso, usando a fórmula ζ = c/(2√km) você pode encontrar ζ se o valor de c for conhecido.

Em seguida, você precisa resolver a equação q'' + 2q' + 100q = 0. Sua solução geral é q(t) = C_1e^(-t(1 - √399)/20) + C_2e^(-t(1 + √ 399)/20), onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas a partir das condições iniciais do problema.

Finalmente, usando os valores encontrados de ω_0 e ζ, pode-se encontrar o decremento das oscilações do sistema usando a fórmula ζ = 1/(n*T)ln(q_n/q_(n+1)), onde n é um número inteiro, T é o período de oscilação, e q_n e q_(n+1) - valores da coordenada generalizada nos tempos nT e (n+1)T, respectivamente.

Neste problema, é necessário encontrar o decremento das oscilações, para que você possa considerar dois momentos quaisquer, por exemplo, nT e (n+1/2)T. Então o decremento é igual a ζ = ln(q_n/(q_n+1/2))/((1/2)T).

Assim, o decréscimo das vibrações do sistema mecânico para este problema é igual a 1,88.

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