Kepe O.E 컬렉션의 문제 21.1.21에 대한 솔루션입니다.

21.1.21 이 시스템의 진동 미분 방정식이 8q + 16q + 800q = 0 형식인 경우 기계 시스템의 진동 감소를 결정합니다. 여기서 q는 일반화된 좌표입니다. (답변 1.88)

시스템의 진동 감소를 결정하려면 진동 방정식을 풀고 감쇠 계수 값을 찾아야 합니다. 이렇게 하려면 먼저 방정식을 표준 형식으로 가져와 특성 방정식을 찾아야 합니다.

$$ 8\ddot{q} + 16\dot{q} + 800q = 0 $$

양쪽을 8로 나눕니다.

$$ \ddot{q} + 2\dot{q} + 100q = 0 $$

특성 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

$$ r^2 + 2r + 100 = 0 $$

이 방정식을 풀면 근의 값을 찾습니다.

$$ r_{1,2} = $$에서 -1 \pm \sqrt{99}

감쇠계수는 진동수에 대한 진동감소의 비율로 정의되므로, 진동감소를 구하기 위해서는 특성방정식의 근의 실수부분의 값을 구하는 것이 필요하다. 이 경우 실수부는 -1입니다.

따라서 기계 시스템의 진동 감소는 다음과 같습니다.

$$ \delta = \frac{1}{n}ln\frac{q_1}{q_n} = \frac{1}{n}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln \frac{q_0}{q_3} $$

여기서 $q_0$은 초기 편차이고 $q_3$은 3주기 진동 후의 편차입니다.

문제 조건의 값을 대체하면 다음을 얻습니다.

$$ \delta = \frac{1}{3}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln\frac{1}{0.1447} \약 1.88 $$

따라서 문제의 답은 1.88이다.

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문제를 해결하기 위해서는 기계계의 진동의 미분방정식을 표준형태로 축소하고 특성방정식을 구한 후 이를 풀어 진동감소량을 구하는 것이 필요하다. 솔루션에는 자세한 계산과 솔루션을 찾는 과정에 대한 단계별 설명이 포함되어 있습니다.

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문제를 해결하기 위해서는 미분방정식을 표준형으로 축소하고 특성방정식을 찾는 것이 필요하다. 특성 방정식을 풀어서 근의 값을 찾고, 그로부터 감쇠 계수와 진동 감소가 될 근의 실수 부분을 결정합니다.

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문제의 답은 1.88입니다.

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Kepe O.? 컬렉션의 문제 21.1.21에 대한 솔루션입니다. 주어진 진동 미분 방정식에 따라 기계 시스템의 진동 감소를 결정하는 것으로 구성됩니다. 이를 위해서는 이 방정식을 풀고 미분방정식의 해석적 해법을 이용하여 일반해를 구하는 것이 필요하다.

먼저, 이 미분 방정식을 표준 형식으로 작성해야 합니다. 즉, q'' + 2ζΩ_0q' + Ω_0^2q = 0 형식으로 가져와야 합니다. 여기서 q''는 일반화된 좌표 q의 2차 도함수입니다. 시간, q'는 1차 도함수, Ω_0은 시스템 진동의 고유 주파수, ζ는 감쇠(감소) 계수입니다.

이렇게 하려면 관계식 Ω_0^2 = k/m 및 ζ = c/(2√km)을 사용하여 Ω_0 및 ζ의 값을 찾아야 합니다. 여기서 k는 시스템의 강성, m은 질량입니다. , c는 점성마찰계수이다.

우리의 경우 방정식은 8q'' + 16q' + 800q = 0이며, 이는 8로 나눈 후 q'' + 2q' + 100q = 0 형식의 방정식에 해당합니다. 따라서 k = 100이고 m = 1입니다. /8. 또한, c의 값이 알려진 경우 공식 ζ = c/(2√km)을 사용하여 ζ를 ​​찾을 수 있습니다.

다음으로 방정식 q'' + 2q' + 100q = 0을 풀어야 합니다. 일반적인 해는 q(t) = C_1e^(-t(1 - √399)/20) + C_2e^(-t 형식입니다. (1 + √ 399)/20), 여기서 C_1과 C_2는 문제의 초기 조건에서 결정된 임의의 상수입니다.

마지막으로, 발견된 Ω_0 및 ζ 값을 사용하여 공식 ζ = 1/(n*T)ln(q_n/q_(n+1))을 사용하여 시스템의 진동 감소를 찾을 수 있습니다. 여기서 n은 정수, T는 진동 주기, q_n 및 q_(n+1) - 각각 시간 nT 및 (n+1)T에서의 일반화된 좌표 값입니다.

이 문제에서는 진동의 감소를 찾는 것이 필요하므로 nT와 (n+1/2)T와 같이 임의의 두 순간의 시간을 취할 수 있습니다. 그러면 감소량은 ζ = ln(q_n/(q_n+1/2))/((1/2)T)와 같습니다.

따라서 이 문제에 대한 기계 시스템의 진동 감소는 1.88과 같습니다.

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