Lösung für Aufgabe 21.1.21 aus der Sammlung von Kepe O.E.

21.1.21 Bestimmen Sie die Dekrementierung der Schwingungen eines mechanischen Systems, wenn die Differentialgleichung der Schwingungen dieses Systems die Form 8q + 16q + 800q = 0 hat, wobei q eine verallgemeinerte Koordinate ist. (Antwort 1.88)

Um die Abnahme der Schwingungen des Systems zu bestimmen, ist es notwendig, die Schwingungsgleichung zu lösen und den Wert des Dämpfungskoeffizienten zu ermitteln. Dazu müssen Sie zunächst die Gleichung in eine Standardform bringen und die charakteristische Gleichung finden:

$$ 8\ddot{q} + 16\dot{q} + 800q = 0 $$

Teilen Sie beide Seiten durch 8:

$$ \ddot{q} + 2\dot{q} + 100q = 0 $$

Die charakteristische Gleichung hat die Form:

$$ r^2 + 2r + 100 = 0 $$

Wenn wir diese Gleichung lösen, finden wir die Werte der Wurzeln:

$$ r_{1,2} = -1 \pm \sqrt{99}in $$

Da der Dämpfungskoeffizient als das Verhältnis des Schwingungsdekrements zur Anzahl der Schwingungen definiert ist, ist es zum Ermitteln des Schwingungsdekrements erforderlich, den Wert des Realteils der Wurzel der charakteristischen Gleichung zu ermitteln. In diesem Fall beträgt der Realteil -1.

Somit ist die Dekrementierung der Schwingungen des mechanischen Systems gleich:

$$ \delta = \frac{1}{n}ln\frac{q_1}{q_n} = \frac{1}{n}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln \frac{q_0}{q_3} $$

wobei $q_0$ die anfängliche Abweichung ist, $q_3$ die Abweichung nach drei Schwingungsperioden.

Ersetzen wir die Werte aus den Problembedingungen, erhalten wir:

$$ \delta = \frac{1}{3}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln\frac{1}{0,1447} \ungefähr 1,88 $$

Somit lautet die Antwort auf das Problem 1,88.

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Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Differentialgleichung der Schwingungen eines mechanischen Systems auf eine Standardform zu reduzieren und die charakteristische Gleichung zu finden, die dann gelöst wird, um das Schwingungsdekrement zu bestimmen. Die Lösung enthält detaillierte Berechnungen und eine Schritt-für-Schritt-Beschreibung des Lösungsprozesses.

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Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Differentialgleichung auf die Standardform zu reduzieren und die charakteristische Gleichung zu finden. Durch Lösen der charakteristischen Gleichung ermitteln wir die Werte der Wurzeln, aus denen wir den Realteil der Wurzel bestimmen, der der Dämpfungskoeffizient und das Dekrement der Schwingungen ist.

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Die Antwort auf das Problem ist 1,88.

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Lösung zu Aufgabe 21.1.21 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, die Dekrementierung der Schwingungen eines mechanischen Systems gemäß einer gegebenen Differentialgleichung der Schwingungen zu bestimmen. Dazu ist es notwendig, diese Gleichung zu lösen und eine allgemeine Lösung mit der Methode der analytischen Lösung von Differentialgleichungen zu finden.

Zuerst müssen Sie diese Differentialgleichung in Standardform schreiben, das heißt, sie in die Form q'' + 2ζω_0q' + ω_0^2q = 0 bringen, wobei q'' die zweite Ableitung der verallgemeinerten Koordinate q nach ist Zeit, q' ist die erste Ableitung, ω_0 ist die Eigenfrequenz der Schwingungen des Systems und ζ ist der Dämpfungskoeffizient (Dekrementkoeffizient).

Dazu müssen Sie die Werte von ω_0 und ζ mithilfe der Beziehungen ω_0^2 = k/m und ζ = c/(2√km) ermitteln, wobei k die Steifigkeit des Systems und m die Masse ist und c ist der viskose Reibungskoeffizient.

In unserem Fall lautet die Gleichung 8q'' + 16q' + 800q = 0, was einer Gleichung der Form q'' + 2q' + 100q = 0 nach Division durch 8 entspricht. Daher ist k = 100 und m = 1 /8. Mit der Formel ζ = c/(2√km) können Sie ζ auch ermitteln, wenn der Wert von c bekannt ist.

Als nächstes müssen Sie die Gleichung q'' + 2q' + 100q = 0 lösen. Ihre allgemeine Lösung hat die Form q(t) = C_1e^(-t(1 - √399)/20) + C_2e^(-t (1 + √ 399)/20), wobei C_1 und C_2 beliebige Konstanten sind, die aus den Anfangsbedingungen des Problems bestimmt werden.

Schließlich kann man unter Verwendung der gefundenen Werte von ω_0 und ζ die Dekrementierung der Schwingungen des Systems mithilfe der Formel ζ = 1/(n*T)ln(q_n/q_(n+1)) ermitteln, wobei n ist eine ganze Zahl, T ist die Schwingungsperiode und q_n und q_(n+1) – Werte der verallgemeinerten Koordinate zu Zeiten nT bzw. (n+1)T.

Bei diesem Problem ist es notwendig, die Dekrementierung der Schwingungen zu ermitteln, sodass zwei beliebige Zeitmomente verwendet werden können, beispielsweise nT und (n+1/2)T. Dann ist das Dekrement gleich ζ = ln(q_n/(q_n+1/2))/((1/2)T).

Somit beträgt die Dekrementierung der Schwingungen des mechanischen Systems für dieses Problem 1,88.

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