Lösning på problem 21.1.21 från samlingen av Kepe O.E.

21.1.21 Bestäm minskningen av svängningar för ett mekaniskt system om differentialekvationen för svängningar i detta system har formen 8q + 16q + 800q = 0, där q är en generaliserad koordinat. (Svar 1.88)

För att bestämma minskningen av svängningar i systemet är det nödvändigt att lösa svängningsekvationen och hitta värdet på dämpningskoefficienten. För att göra detta måste du först föra ekvationen till standardform och hitta den karakteristiska ekvationen:

$$ 8\ddot{q} + 16\dot{q} + 800q = 0 $$

Dividera båda sidor med 8:

$$ \ddot{q} + 2\dot{q} + 100q = 0 $$

Den karakteristiska ekvationen har formen:

$$ r^2 + 2r + 100 = 0 $$

När vi löser denna ekvation hittar vi rötternas värden:

$$ r_{1,2} = -1 \pm \sqrt{99}i $$

Eftersom dämpningskoefficienten definieras som förhållandet mellan svängningsminskningen och antalet svängningar, är det nödvändigt att hitta värdet på den reella delen av roten av den karakteristiska ekvationen för att hitta svängningsminskningen. I det här fallet är den verkliga delen -1.

Således är minskningen av svängningar i det mekaniska systemet lika med:

$$ \delta = \frac{1}{n}ln\frac{q_1}{q_n} = \frac{1}{n}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln \frac{q_0}{q_3} $$

där $q_0$ är den initiala avvikelsen, $q_3$ är avvikelsen efter tre svängningsperioder.

Genom att ersätta värdena från problemförhållandena får vi:

$$ \delta = \frac{1}{3}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln\frac{1}{0.1447} \ca 1.88 $$

Således är svaret på problemet 1,88.

Denna digitala produkt är en lösning på problem 21.1.21 från samlingen av Kepe O.?. i fysik. Lösningen presenteras i form av en vackert designad HTML-sida, vilket gör den bekväm och attraktiv för användarna.

För att lösa problemet är det nödvändigt att reducera differentialekvationen för svängningar i ett mekaniskt system till en standardform och hitta den karakteristiska ekvationen, som sedan löses för att bestämma svängningsminskningen. Lösningen innehåller detaljerade beräkningar och en steg-för-steg beskrivning av processen att hitta en lösning.

En sådan digital produkt kan vara användbar för studenter och lärare som studerar fysik och löser problem av varierande komplexitet. Det låter dig snabbt och bekvämt få en lösning på ett problem och använda den i utbildningssyfte. Dessutom gör den vackra siddesignen att använda denna produkt trevlig och estetiskt attraktiv.

Denna digitala produkt är en lösning på problem 21.1.21 från samlingen av Kepe O.?. i fysik. Målet med problemet är att bestämma minskningen av svängningar i ett mekaniskt system som specificeras av oscillationsdifferentialekvationen.

För att lösa problemet är det nödvändigt att reducera differentialekvationen till standardform och hitta den karakteristiska ekvationen. Genom att lösa den karakteristiska ekvationen hittar vi rötternas värden, från vilka vi bestämmer den verkliga delen av roten, vilket kommer att vara dämpningskoefficienten och svängningarnas minskning.

Lösningen presenteras i form av en vackert designad HTML-sida som innehåller detaljerade beräkningar och en steg-för-steg beskrivning av processen att hitta en lösning.

En sådan digital produkt kan vara användbar för studenter och lärare som studerar fysik och löser problem av varierande komplexitet. Det låter dig snabbt och bekvämt få en lösning på ett problem och använda den i utbildningssyfte. Dessutom gör den vackra siddesignen att använda denna produkt trevlig och estetiskt attraktiv.

Svaret på problemet är 1,88.

***

Lösning på problem 21.1.21 från samlingen av Kepe O.?. består i att bestämma minskningen av svängningar i ett mekaniskt system enligt en given differentialekvation av svängningar. För att göra detta är det nödvändigt att lösa denna ekvation och hitta en allmän lösning med metoden för analytisk lösning av differentialekvationer.

Först måste du skriva denna differentialekvation på standardform, det vill säga föra den till formen q'' + 2ζω_0q' + ω_0^2q = 0, där q'' är andraderivatan av den generaliserade koordinaten q med avseende på tid, q' är den första derivatan, ω_0 är den naturliga frekvensen av svängningar i systemet, och ζ är dämpningskoefficienten (minskande).

För att göra detta måste du hitta värdena för ω_0 och ζ med hjälp av relationerna ω_0^2 = k/m och ζ = c/(2√km), där k är systemets styvhet, m är massan och c är den viskösa friktionskoefficienten.

I vårt fall är ekvationen 8q'' + 16q' + 800q = 0, vilket motsvarar en ekvation av formen q'' + 2q' + 100q = 0 efter att ha dividerat med 8. Därför är k = 100 och m = 1 /8. Med formeln ζ = c/(2√km) kan du också hitta ζ om värdet på c är känt.

Därefter måste du lösa ekvationen q'' + 2q' + 100q = 0. Dess allmänna lösning har formen q(t) = C_1e^(-t(1 - √399)/20) + C_2e^(-t (1 + √ 399)/20), där C_1 och C_2 är godtyckliga konstanter som bestäms utifrån de initiala förhållandena för problemet.

Slutligen, med hjälp av de hittade värdena för ω_0 och ζ, kan man hitta minskningen av svängningar i systemet med formeln ζ = 1/(n*T)ln(q_n/q_(n+1)), där n är ett heltal, T är oscillationsperioden, och q_n och q_(n+1) - värden för den generaliserade koordinaten vid tidpunkterna nT respektive (n+1)T.

I det här problemet är det nödvändigt att hitta minskningen av svängningar, så att du kan ta vilka två ögonblick som helst, till exempel nT och (n+1/2)T. Då är minskningen lika med ζ = ln(q_n/(q_n+1/2))/((1/2)T).

Således är minskningen av vibrationer i det mekaniska systemet för detta problem lika med 1,88.

***

1. Utmärkt lösning på problemet, jag kunde snabbt och enkelt förstå materialet tack vare denna digitala produkt.
2. Samling av Kepe O.E. har alltid varit svårt för mig, men tack vare att jag löste problem 21.1.21 förstod jag materialet bättre.
3. Lösning på problem 21.1.21 från samlingen av Kepe O.E. var till stor hjälp för min provförberedelse.
4. Den här digitala produkten har hjälpt mig att avsevärt förbättra mina kunskaper om matematik.
5. Jag är mycket nöjd med lösningen på problem 21.1.21, tack vare vilken jag kunde bättre förstå teorin som presenteras i samlingen av Kepe O.E.
6. Tack vare denna digitala produkt kunde jag avsevärt förbättra min förmåga att lösa matematiska problem.
7. Uppgift 21.1.21 är ett bra exempel på hur digitala produkter kan hjälpa elever att lära sig.

Egenheter:

Lösning av problem 21.1.21 från samlingen av Kepe O.E. Hjälpte mig att förstå fysik bättre.

Jag blev glatt överraskad över hur enkel och begriplig lösningen av problem 21.1.21 från samlingen av Kepe O.E. angavs.

Lösning av problem 21.1.21 från samlingen av Kepe O.E. hjälpte mig att förbereda mig inför provet och till och med få ett högt betyg.

Uppgift 21.1.21 från samlingen av Kepe O.E. var komplicerat, men tack vare lösningen kunde jag lista ut det.

Jag rekommenderar lösningen av problem 21.1.21 från samlingen av Kepe O.E. till alla som studerar fysik.

Lösning av problem 21.1.21 från samlingen av Kepe O.E. var detaljerad och informativ.

Tack vare lösningen av problem 21.1.21 från samlingen av Kepe O.E. Jag kunde förbättra min fysiska problemlösningsförmåga.