Solución al problema 21.1.21 de la colección de Kepe O.E.

21.1.21 Determine la disminución de oscilaciones de un sistema mecánico si la ecuación diferencial de oscilaciones de este sistema tiene la forma 8q + 16q + 800q = 0, donde q es una coordenada generalizada. (Respuesta 1.88)

Para determinar la disminución de las oscilaciones del sistema, es necesario resolver la ecuación de oscilación y encontrar el valor del coeficiente de amortiguación. Para hacer esto, primero debes llevar la ecuación a su forma estándar y encontrar la ecuación característica:

$$ 8\ddot{q} + 16\dot{q} + 800q = 0 $$

Divide ambos lados entre 8:

$$ \ddot{q} + 2\dot{q} + 100q = 0 $$

La ecuación característica tiene la forma:

$$ r^2 + 2r + 100 = 0 $$

Resolviendo esta ecuación, encontramos los valores de las raíces:

$$ r_{1,2} = -1 \pm \sqrt{99}en $$

Dado que el coeficiente de amortiguación se define como la relación entre la disminución de la oscilación y el número de oscilaciones, para encontrar la disminución de la oscilación es necesario encontrar el valor de la parte real de la raíz de la ecuación característica. En este caso la parte real es -1.

Así, la disminución de las oscilaciones del sistema mecánico es igual a:

$$ \delta = \frac{1}{n}ln\frac{q_1}{q_n} = \frac{1}{n}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln \frac{q_0}{q_3} $$

donde $q_0$ es la desviación inicial, $q_3$ es la desviación después de tres períodos de oscilación.

Sustituyendo los valores de las condiciones del problema, obtenemos:

$$ \delta = \frac{1}{3}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln\frac{1}{0.1447} \aprox 1.88 $$

Por tanto, la respuesta al problema es 1,88.

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Para resolver el problema, es necesario reducir la ecuación diferencial de oscilaciones de un sistema mecánico a una forma estándar y encontrar la ecuación característica, que luego se resuelve para determinar la disminución de la oscilación. La solución contiene cálculos detallados y una descripción paso a paso del proceso de búsqueda de una solución.

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Para resolver el problema, es necesario reducir la ecuación diferencial a su forma estándar y encontrar la ecuación característica. Resolviendo la ecuación característica encontramos los valores de las raíces, a partir de los cuales determinamos la parte real de la raíz, que será el coeficiente de amortiguación y la disminución de las oscilaciones.

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La respuesta al problema es 1,88.

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Solución al problema 21.1.21 de la colección de Kepe O.?. Consiste en determinar la disminución de las oscilaciones de un sistema mecánico según una ecuación diferencial de oscilaciones dada. Para ello, es necesario resolver esta ecuación y encontrar una solución general utilizando el método de solución analítica de ecuaciones diferenciales.

Primero, necesitas escribir esta ecuación diferencial en forma estándar, es decir, llevarla a la forma q'' + 2ζω_0q' + ω_0^2q = 0, donde q'' es la segunda derivada de la coordenada generalizada q con respecto a tiempo, q' es la primera derivada, ω_0 es la frecuencia natural de las oscilaciones del sistema y ζ es el coeficiente de amortiguación (decremento).

Para hacer esto, necesitas encontrar los valores de ω_0 y ζ usando las relaciones ω_0^2 = k/m y ζ = c/(2√km), donde k es la rigidez del sistema, m es la masa yc es el coeficiente de fricción viscosa.

En nuestro caso, la ecuación es 8q'' + 16q' + 800q = 0, que corresponde a una ecuación de la forma q'' + 2q' + 100q = 0 después de dividir por 8. Por lo tanto, k = 100 y m = 1 /8. Además, usando la fórmula ζ = c/(2√km) puedes encontrar ζ si se conoce el valor de c.

A continuación, debes resolver la ecuación q'' + 2q' + 100q = 0. Su solución general tiene la forma q(t) = C_1e^(-t(1 - √399)/20) + C_2e^(-t (1 + √ 399)/20), donde C_1 y C_2 son constantes arbitrarias determinadas a partir de las condiciones iniciales del problema.

Finalmente, usando los valores encontrados de ω_0 y ζ, se puede encontrar el decremento de las oscilaciones del sistema usando la fórmula ζ = 1/(n*T)ln(q_n/q_(n+1)), donde n es un número entero, T es el período de oscilación, y q_n y q_(n+1) son valores de la coordenada generalizada en los momentos nT y (n+1)T, respectivamente.

En este problema, es necesario encontrar la disminución de las oscilaciones, por lo que puedes tomar dos momentos de tiempo cualesquiera, por ejemplo, nT y (n+1/2)T. Entonces el decremento es igual a ζ = ln(q_n/(q_n+1/2))/((1/2)T).

Así, la disminución de vibraciones del sistema mecánico para este problema es igual a 1,88.

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