Kepe O.E. のコレクションからの問題 21.1.21 の解決策。

21.1.21 機械システムの振動の微分方程式が 8q + 16q + 800q = 0 の形式を持つ場合、機械システムの振動の減少分を求めます。ここで、q は一般化された座標です。 (答え 1.88)

システムの振動の減衰を決定するには、振動方程式を解き、減衰係数の値を見つける必要があります。これを行うには、まず方程式を標準形式にして、特性方程式を見つける必要があります。

$$ 8\ddot{q} + 16\dot{q} + 800q = 0 $$

両辺を 8 で割ります。

$$ \ddot{q} + 2\dot{q} + 100q = 0 $$

特性方程式の形式は次のとおりです。

$$ r^2 + 2r + 100 = 0 $$

この方程式を解くと、根の値がわかります。

$$ r_{1,2} = -1 \pm \sqrt{99}in $$

減衰係数は振動数に対する振動減少量の比として定義されるため、振動減少量を求めるには特性方程式の根の実数部の値を求める必要があります。この場合、実部は -1 です。

したがって、機械システムの振動の減少は次のようになります。

$$ \delta = \frac{1}{n}ln\frac{q_1}{q_n} = \frac{1}{n}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln \frac{q_0}{q_3} $$

ここで、$q_0$ は初期偏差、$q_3$ は 3 周期の振動後の偏差です。

問題の条件の値を代入すると、次のようになります。

$$ \delta = \frac{1}{3}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln\frac{1}{0.1447} \約 1.88 $$

したがって、問題の答えは 1.88 です。

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この問題を解決するには、機械系の振動の微分方程式を標準形式に落とし込み、特性方程式を求め、それを解いて振動の減少量を求める必要があります。ソリューションには、詳細な計算と、ソリューションを見つけるプロセスの段階的な説明が含まれています。

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この問題を解くためには、微分方程式を標準形に変形し、特性方程式を求める必要があります。特性方程式を解くことによってルートの値が見つかり、そこから減衰係数と振動の減衰となるルートの実部が決定されます。

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問題の答えは 1.88 です。

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Kepe O.? のコレクションからの問題 21.1.21 の解決策。与えられた振動の微分方程式に従って機械システムの振動の減少を決定することにあります。これを行うには、この方程式を解き、微分方程式の解析的解法を使用して一般解を見つける必要があります。

まず、この微分方程式を標準形式で書く必要があります。つまり、q'' + 2ζω_0q' + ω_0^2q = 0 の形式にする必要があります。ここで、q'' は、次の一般化座標 q の二次導関数です。時間、q' は一次導関数、ω_0 はシステムの振動の固有周波数、そして ζ は減衰 (減衰) 係数です。

これを行うには、関係式 ω_0^2 = k/m および ζ = c/(2√km) を使用して、ω_0 と ζ の値を見つける必要があります。ここで、k はシステムの剛性、m は質量です、c は粘性摩擦係数です。

この場合、方程式は 8q'' + 16q' + 800q = 0 で、これは 8 で割った後の q'' + 2q' + 100q = 0 という形式の方程式に対応します。 したがって、k = 100 および m = 1 /8.また、c の値がわかっている場合は、式 ζ = c/(2√km) を使用して ζ を求めることができます。

次に、方程式 q'' + 2q' + 100q = 0 を解く必要があります。その一般的な解の形式は q(t) = C_1e^(-t(1 - √399)/20) + C_2e^(-t (1 + √ 399)/20)、ここで C_1 と C_2 は問題の初期条件から決定される任意の定数です。

最後に、見つかった ω_0 と ξ の値を使用して、式 ξ = 1/(n*T)ln(q_n/q_(n+1)) を使用してシステムの振動の減少を求めることができます。ここで、n は整数、T は振動周期、q_n と q_(n+1) - それぞれ時間 nT と (n+1)T における一般化座標の値。

この問題では、振動の減少を見つける必要があるため、任意の 2 つの瞬間 (たとえば、nT と (n+1/2)T) を取得できます。この場合、減分は ζ = ln(q_n/(q_n+1/2))/((1/2)T) に等しくなります。

したがって、この問題に対する機械システムの振動の減少は 1.88 に等しくなります。

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