Soluzione al problema 21.1.21 dalla collezione di Kepe O.E.

21.1.21 Determinare il decremento delle oscillazioni di un sistema meccanico se l'equazione differenziale delle oscillazioni di questo sistema ha la forma 8q + 16q + 800q = 0, dove q è una coordinata generalizzata. (Risposta 1.88)

Per determinare il decremento delle oscillazioni del sistema è necessario risolvere l'equazione delle oscillazioni e trovare il valore del coefficiente di smorzamento. Per fare ciò, devi prima portare l'equazione nella forma standard e trovare l'equazione caratteristica:

$$ 8\ddot{q} + 16\punto{q} + 800q = 0 $$

Dividi entrambi i membri per 8:

$$\ddot{q} + 2\punto{q} + 100q = 0 $$

L’equazione caratteristica ha la forma:

$$r^2 + 2r + 100 = 0 $$

Risolvendo questa equazione, troviamo i valori delle radici:

$$ r_{1,2} = -1 \pm \sqrt{99}in $$

Poiché il coefficiente di smorzamento è definito come il rapporto tra il decremento dell'oscillazione e il numero di oscillazioni, per trovare il decremento dell'oscillazione è necessario trovare il valore della parte reale della radice dell'equazione caratteristica. In questo caso la parte reale è -1.

Pertanto il decremento delle oscillazioni del sistema meccanico è pari a:

$$ \delta = \frac{1}{n}ln\frac{q_1}{q_n} = \frac{1}{n}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln \frac{q_0}{q_3} $$

dove $q_0$ è la deviazione iniziale, $q_3$ è la deviazione dopo tre periodi di oscillazione.

Sostituendo i valori delle condizioni problematiche, otteniamo:

$$ \delta = \frac{1}{3}ln\frac{q_0}{q_3} = \frac{1}{3}ln\frac{1}{0,1447} \circa 1,88 $$

Pertanto, la risposta al problema è 1,88.

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Per risolvere il problema è necessario ridurre l'equazione differenziale delle oscillazioni di un sistema meccanico ad una forma standard e trovare l'equazione caratteristica, che viene poi risolta per determinare il decremento dell'oscillazione. La soluzione contiene calcoli dettagliati e una descrizione passo passo del processo di ricerca di una soluzione.

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Per risolvere il problema è necessario ridurre l'equazione differenziale alla forma standard e trovare l'equazione caratteristica. Risolvendo l'equazione caratteristica, troviamo i valori delle radici, da cui determiniamo la parte reale della radice, che sarà il coefficiente di smorzamento e il decremento delle oscillazioni.

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La risposta al problema è 1,88.

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Soluzione al problema 21.1.21 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare il decremento delle oscillazioni di un sistema meccanico secondo una data equazione differenziale delle oscillazioni. Per fare ciò, è necessario risolvere questa equazione e trovare una soluzione generale utilizzando il metodo della soluzione analitica delle equazioni differenziali.

Per prima cosa devi scrivere questa equazione differenziale in forma standard, cioè portarla nella forma q'' + 2ζω_0q' + ω_0^2q = 0, dove q'' è la derivata seconda della coordinata generalizzata q rispetto a tempo, q' è la derivata prima, ω_0 è la frequenza naturale delle oscillazioni del sistema e ζ è il coefficiente di smorzamento (decremento).

Per fare ciò è necessario trovare i valori di ω_0 e ζ utilizzando le relazioni ω_0^2 = k/m e ζ = c/(2√km), dove k è la rigidezza del sistema, m è la massa , e c è il coefficiente di attrito viscoso.

Nel nostro caso l'equazione è 8q'' + 16q' + 800q = 0, che corrisponde a un'equazione della forma q'' + 2q' + 100q = 0 dopo aver diviso per 8. Pertanto k = 100 e m = 1 /8. Inoltre, utilizzando la formula ζ = c/(2√km) puoi trovare ζ se il valore di c è noto.

Successivamente, devi risolvere l'equazione q'' + 2q' + 100q = 0. La sua soluzione generale ha la forma q(t) = C_1e^(-t(1 - √399)/20) + C_2e^(-t (1 + √ 399)/20), dove C_1 e C_2 sono costanti arbitrarie determinate dalle condizioni iniziali del problema.

Infine, utilizzando i valori trovati di ω_0 e ζ, si può trovare il decremento delle oscillazioni del sistema utilizzando la formula ζ = 1/(n*T)ln(q_n/q_(n+1)), dove n è un numero intero, T è il periodo di oscillazione e q_n e q_(n+1) sono valori della coordinata generalizzata rispettivamente ai tempi nT e (n+1)T.

In questo problema è necessario trovare il decremento delle oscillazioni, quindi puoi prendere due momenti qualsiasi del tempo, ad esempio nT e (n+1/2)T. Allora il decremento è uguale a ζ = ln(q_n/(q_n+1/2))/((1/2)T).

Pertanto il decremento delle vibrazioni del sistema meccanico per questo problema è pari a 1,88.

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