Soluzione al problema 15.3.9 dalla collezione di Kepe O.E.

Problema 15.3.9 dalla collezione di Kepe O.?. è formulato come segue: “Trova l'angolo compreso tra due piani passanti per tre punti nello spazio dati dalle coordinate”.

Per risolvere il problema è necessario eseguire i seguenti passaggi:

1. Trovare le equazioni dei piani passanti per i punti dati.
2. Scrivi le equazioni dei piani in forma generale.
3. Trova l'angolo tra i piani utilizzando la formula: cos(angolo) = (a1a2+b1b2 + c1*c2) / (sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2) * sqrt(a2^2 + b2^2 + c2^2)), dove a1, b1, c1 e a2, b2, c2 - coefficienti delle equazioni piane.

Soluzione al problema 15.3.9 dalla collezione di Kepe O.?. può interessare studenti e professionisti nei campi della geometria e dell'algebra lineare.

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Problema 15.3.9 dalla collezione di Kepe O.?. è la seguente: data una matrice di dimensione n x n, in cui ogni elemento è uguale a 0 oppure 1. Occorre determinare se è possibile selezionare un insieme di k righe della matrice tale che ogni colonna contenga almeno un'unità .

Per risolvere questo problema, è possibile utilizzare il metodo della matrice di incidenza e l'algoritmo per trovare la corrispondenza massima in un grafico bipartito. Innanzitutto, viene costruita una matrice di incidenza in cui le righe corrispondono alle righe della matrice, e le colonne corrispondono alle colonne della matrice, e l'elemento della matrice di incidenza è uguale a 1 se l'elemento di matrice corrispondente è uguale a 1 e 0 altrimenti. Quindi viene costruito un grafo bipartito in cui i vertici della prima parte corrispondono alle righe della matrice, i vertici della seconda parte corrispondono alle colonne della matrice e viene disegnato un bordo tra i vertici se l'elemento corrispondente della matrice la matrice di incidenza è pari a 1.

Dopo aver costruito il grafico, viene applicato un algoritmo di ricerca della corrispondenza massima, che consente di trovare il numero massimo di bordi del grafico che non hanno vertici comuni. Se il numero di archi nell'abbinamento trovato è uguale a k, allora la risposta al problema è positiva, altrimenti è negativa.

Soluzione al problema 15.3.9 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare la velocità dell'anello D nel punto C se la sua velocità nel punto A è zero. Per fare ciò, è necessario utilizzare le leggi di conservazione dell'energia e della meccanica.

Il filo ABC è un arco curvo di un cerchio di raggio r1 = 1 m, r2 = 2 m, situato nel piano verticale. Un anello D di massa m può scorrere senza attrito lungo un filo.

Usando la legge di conservazione dell'energia, possiamo scrivere che l'energia cinetica dell'anello D nel punto A è zero, poiché la sua velocità in questo punto è zero. Pertanto, nel punto C l'energia cinetica dell'anello D è uguale all'energia potenziale dell'anello nel punto A:

mgh = (1/2)mv^2,

dove m è la massa dell'anello, g è l'accelerazione di gravità, h è l'altezza dell'anello dal punto A al punto C, v è la velocità dell'anello nel punto C.

L'altezza di sollevamento dell'anello può essere determinata da considerazioni geometriche:

h = r2 - r1 = 1 m.

Pertanto, sostituendo i valori noti nell'equazione, otteniamo:

mg = (1/2)mv^2, v^2 = 2gh = 2g(r2 - r1), v = sqrt(2g(r2 - r1)),

dove sqrt è la radice quadrata, g ≈ 9,81 m/s² è l'accelerazione di gravità.

Sostituendo i valori numerici, otteniamo:

v = quadrato(2 * 9,81 * (2 - 1)) ≈ 9,90 m/s.

Risposta: la velocità dell'anello D nel punto C è 9,90 m/s.

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