Solución al problema 15.3.9 de la colección de Kepe O.E.

Problema 15.3.9 de la colección de Kepe O.?. se formula de la siguiente manera: "Encuentra el ángulo entre dos planos que pasan por tres puntos en el espacio dado por las coordenadas".

Para solucionar el problema es necesario realizar los siguientes pasos:

1. Encuentra ecuaciones de planos que pasan por puntos dados.
2. Escribe las ecuaciones de planos en forma general.
3. Encuentra el ángulo entre los planos usando la fórmula: cos(ángulo) = (a1a2 + b1b2 + c1*c2) / (sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2) * sqrt(a2^2 + b2^2 + c2^2)), donde a1, b1, c1 y a2, b2, c2 - coeficientes de ecuaciones planas.

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Problema 15.3.9 de la colección de Kepe O.?. es el siguiente: dada una matriz de tamaño n x n, en la que cada elemento es igual a 0 o 1. Es necesario determinar si es posible seleccionar un conjunto de k filas de la matriz tal que cada columna contenga al menos una unidad .

Para resolver este problema, puede utilizar el método de la matriz de incidencia y el algoritmo para encontrar la coincidencia máxima en un gráfico bipartito. Primero, se construye una matriz de incidencia en la que las filas corresponden a las filas de la matriz, y las columnas corresponden a las columnas de la matriz, y el elemento de la matriz de incidencia es igual a 1 si el elemento de la matriz correspondiente es igual a 1 y 0 en caso contrario. Luego se construye un gráfico bipartito en el que los vértices de la primera parte corresponden a las filas de la matriz, los vértices de la segunda parte corresponden a las columnas de la matriz y se dibuja una arista entre los vértices si el elemento correspondiente de la la matriz de incidencia es igual a 1.

Después de construir el gráfico, se aplica un algoritmo de búsqueda de coincidencia máxima, que le permite encontrar el número máximo de aristas del gráfico que no tienen vértices comunes. Si el número de aristas en la coincidencia encontrada es igual a k, entonces la respuesta al problema es positiva; de lo contrario, es negativa.

Solución al problema 15.3.9 de la colección de Kepe O.?. consiste en determinar la rapidez del anillo D en el punto C si su rapidez en el punto A es cero. Para ello es necesario utilizar las leyes de conservación de la energía y la mecánica.

El alambre ABC es un arco curvo de un círculo de radios r1 = 1 m, r2 = 2 m, ubicado en el plano vertical. Un anillo D de masa m puede deslizarse sin fricción a lo largo de un alambre.

Usando la ley de conservación de la energía, podemos escribir que la energía cinética del anillo D en el punto A es cero, ya que su velocidad en ese punto es cero. Por tanto, en el punto C la energía cinética del anillo D es igual a la energía potencial del anillo en el punto A:

mgh = (1/2)mv^2,

donde m es la masa del anillo, g es la aceleración de la gravedad, h es la altura del anillo desde el punto A al punto C, v es la velocidad del anillo en el punto C.

La altura de elevación del anillo se puede determinar a partir de consideraciones geométricas:

h = r2 - r1 = 1 metro.

Así, sustituyendo los valores conocidos en la ecuación, obtenemos:

mg = (1/2)mv^2, v^2 = 2gh = 2g(r2 - r1), v = raíz cuadrada (2g (r2 - r1)),

donde sqrt es la raíz cuadrada, g ≈ 9,81 m/s² es la aceleración de la gravedad.

Sustituyendo valores numéricos obtenemos:

v = raíz cuadrada (2 * 9,81 * (2 - 1)) ≈ 9,90 m/s.

Respuesta: la velocidad del anillo D en el punto C es 9,90 m/s.

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