Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versión 12

№1.12

Dados cuatro puntos A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Inventa ecuaciones:

1. planos A1 A2 A3;
2. recto A1A2;
3. recta A4M, perpendicular al plano A1A2A3;
4. recta A3N paralela a la recta A1A2;
5. plano que pasa por el punto A4, perpendicular a la recta A1A2.

Calcular:

1. seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3;
2. coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3.

a) Ecuación del plano A1A2A3:

Encontremos el producto vectorial de los vectores A1A2 y A1A3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 y 2-10 \\ 2-4 y 8-4 y 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

Entonces la ecuación del avión es A1A2A3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

o

\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]

b) Ecuación de la recta A1A2:

Encontremos el vector director de la recta A1A2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]

Entonces la ecuación de la recta A1A2:

\[ \begin{casos} x = 4 + 3t, ​​\\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{casos} \]

c) Ecuación de la línea A4M:

Dado que la recta A4M es perpendicular al plano A1A2A3, el vector director de la recta A4M debe ser colineal al vector normal al plano A1A2A3. Encontremos este vector normal:

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]

La recta MA4 que pasa por el punto A4 tiene la ecuación:

\[ \begin{casos} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{casos} \ ]

donde $

№1.12

Dados cuatro puntos A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Inventa ecuaciones:

1. planos A1 A2 A3;
2. recto A1A2;
3. recta A4M, perpendicular al plano A1A2A3;
4. recta A3N paralela a la recta A1A2;
5. plano que pasa por el punto A4, perpendicular a la recta A1A2.

Calcular:

1. seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3;
2. coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3.

a) Ecuación del plano A1A2A3:

Encontremos el producto vectorial de los vectores A1A2 y A1A3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 y 2-10 \\ 2-4 y 8-4 y 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

Entonces la ecuación del avión es A1A2A3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

o

\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]

b) Ecuación de la recta A1A2:

Encontremos el vector director de la recta A1A2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]

Entonces la ecuación de la recta A1A2:

\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, ​​\\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{casos} \]

c) Ecuación de la línea A4M:

Dado que la recta A4M es perpendicular al plano A1A2A3, el vector director de la recta A4M debe ser colineal al vector normal al plano A1A2A3. Encontremos este vector normal:

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]

La recta MA4 que pasa por el punto A4 tiene la ecuación:

\[ \begin{casos} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{casos} \ ]

donde $k_

№1.12

Hay cuatro puntos: A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Necesario:

1. Encuentra la ecuación del avión que pasa por los puntos A1, A2, A3.
2. Encuentra la ecuación de la línea A1A2.
3. Encuentre la ecuación de la recta A4M, que es perpendicular al plano A1A2A3 y pasa por el punto A4.
4. Encuentre la ecuación de la recta A3N paralela a la recta A1A2.
5. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2.

También necesitas calcular:

1. seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3;
2. coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3.

a) Ecuación del plano A1A2A3:

Encontremos el producto vectorial de los vectores A1A2 y A1A3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 y 2-10 \\ 2-4 y 8-4 y 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

Entonces la ecuación del avión es A1A2A3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

o

\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]

b) Ecuación de la recta A1A2:

Encontremos el vector director de la recta A1A2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]

Entonces la ecuación de la recta A1A2:

\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, ​​\\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{casos} \]

c) Ecuación de la línea A4M:

Dado que la recta A4M es perpendicular al plano A1A2A3, el vector director de la recta A4M debe ser colineal al vector normal al plano A1A2A3. Encontremos este vector normal:

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]

La recta MA4 que pasa por el punto A4 tiene la ecuación:

\[ \begin{cases} x

En este ejercicio necesitas encontrar las ecuaciones de un plano que pasa por tres puntos dados, una recta que pasa por dos puntos dados y una recta perpendicular al plano que pasa por un punto dado. También es necesario encontrar la ecuación de una recta paralela a una recta dada y la ecuación de un plano perpendicular a una recta dada y que pasa por un punto dado. Además, necesitas calcular el seno y el coseno de los ángulos entre objetos dados.

a) Ecuación del plano A1A2A3: Encontremos el producto vectorial de los vectores A1A2 y A1A3: [ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 7-4 & 10-4 & 2-10 \ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} ] Entonces la ecuación del avión es A1A2A3: [ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0. ] o [ 3x - 13y - 9z + 71 = 0. ]

b) Ecuación de la recta A1A2: Encontremos el vector director de la recta A1A2: [ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec {j} - 8\vec{k}. ] Entonces la ecuación de la recta A1A2: [ \begin{casos} x = 4 + 3t, ​​​​\ y = 4 + 6t, \z = 10 - 8t. \end{casos} ]

c) Ecuación de la línea A4M: Dado que la recta A4M es perpendicular al plano A1A2A3, el vector director de la recta A4M debe ser colineal al vector normal al plano A1A2A3. Encontremos este vector normal: [ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. ] La recta MA4 que pasa por el punto A4 tiene la ecuación: [ \begin{casos} x - 9 = k_1 \cdot 6, \ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{casos} ] donde $k_1$ es un parámetro arbitrario.

d) Ecuación de la línea A3N: Como la recta A3N es paralela a la recta A1A2, tiene el mismo vector director: [ \overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}. ] La recta A3N que pasa por el punto A3 tiene la ecuación: [ \begin{casos} x = 2 + 3t, ​​​​\ y = 8 + 6t, \ z = 4 - 8t. \end{casos} ]

e) Ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2: El vector director de la recta A1A2 ya lo hemos encontrado en el párrafo anterior: $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$. El vector normal al plano deseado debe ser perpendicular a este vector director, es decir, tener coordenadas , 6, -8$. Entonces la ecuación del plano deseado tiene la forma: [ 3(x-9) + 6(y-6) - 8(z-9) = 0. ] o [ 3x + 6y - 8z - 9 = 0. ]

f) Seno y coseno del ángulo formado por las rectas A1A2 y A3N: Los vectores directores de las rectas A1A2 y A3N son respectivamente iguales a $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$ y $\overrightarrow{A_1A_3} = 3 \vec{i} + 2\vec{j} - 8\vec{k}$. Su producto escalar es igual a: [ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3} = 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + (-8) \cdot (-8) = 83. ] Las longitudes de los vectores son: [ |\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-8)^2} = \sqrt{109}, ] [ |\overrightarrow{A_1A_3}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{77}. ] Entonces el seno del ángulo entre rectas se puede calcular mediante la fórmula: [ \sin\alpha = \frac{|\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}|}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{\sqrt{77}}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{\sqrt{77}}{77}. ] Y el coseno del ángulo entre rectas es igual a: [ \cos\alpha = \frac{\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3}}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{83}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{83\sqrt{77}}{847}. ]

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versión 12 es una tarea educativa o prueba del curso "Informática y Programación", desarrollado por el autor Ryabushko A.P. La opción 12 representa un posible conjunto de elementos que pueden incluirse en esta versión de la prueba. Las tareas pueden incluir diversos temas relacionados con la informática y la programación, como algoritmos, estructuras de datos, lenguajes de programación, etc. Dependiendo de la opción específica, las tareas pueden ser de diversa complejidad y requerir diferentes niveles de conocimiento. Resolver tareas de IDZ 3.1 versión 12 puede ayudar a los estudiantes a consolidar y probar sus conocimientos en el campo de la informática y la programación.

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