Dati quattro punti A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Crea equazioni:
Calcolare:
a) Equazione del piano A1A2A3:
Troviamo il prodotto vettoriale dei vettori A1A2 e A1A3:
\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]
Allora l'equazione del piano è A1A2A3:
\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]
O
\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]
b) Equazione della retta A1A2:
Troviamo il vettore direzione della retta A1A2:
\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]
Quindi l'equazione della retta A1A2:
\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{casi} \]
c) Equazione della retta A4M:
Poiché la retta A4M è perpendicolare al piano A1A2A3, il vettore direzione della retta A4M deve essere collineare al vettore normale al piano A1A2A3. Troviamo questo vettore normale:
\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]
La retta MA4 passante per il punto A4 ha l'equazione:
\[ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ ]
dove $
Dati quattro punti A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Crea equazioni:
Calcolare:
a) Equazione del piano A1A2A3:
Troviamo il prodotto vettoriale dei vettori A1A2 e A1A3:
\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]
Allora l'equazione del piano è A1A2A3:
\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]
O
\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]
b) Equazione della retta A1A2:
Troviamo il vettore direzione della retta A1A2:
\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]
Quindi l'equazione della retta A1A2:
\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{casi} \]
c) Equazione della retta A4M:
Poiché la retta A4M è perpendicolare al piano A1A2A3, il vettore direzione della retta A4M deve essere collineare al vettore normale al piano A1A2A3. Troviamo questo vettore normale:
\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]
La retta MA4 passante per il punto A4 ha l'equazione:
\[ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ ]
dove $k_
Ci sono quattro punti: A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Necessario:
Devi anche calcolare:
a) Equazione del piano A1A2A3:
Troviamo il prodotto vettoriale dei vettori A1A2 e A1A3:
\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]
Allora l'equazione del piano è A1A2A3:
\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]
O
\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]
b) Equazione della retta A1A2:
Troviamo il vettore direzione della retta A1A2:
\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]
Quindi l'equazione della retta A1A2:
\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{casi} \]
c) Equazione della retta A4M:
Poiché la retta A4M è perpendicolare al piano A1A2A3, il vettore direzione della retta A4M deve essere collineare al vettore normale al piano A1A2A3. Troviamo questo vettore normale:
\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]
La retta MA4 passante per il punto A4 ha l'equazione:
\[ \begin{cases} x
In questo esercizio devi trovare le equazioni di un piano passante per tre punti dati, una retta passante per due punti dati e una retta perpendicolare al piano e passante per un punto dato. È inoltre necessario trovare l'equazione di una retta parallela ad una data retta e l'equazione di un piano perpendicolare ad una data retta e passante per un dato punto. Inoltre, è necessario calcolare il seno e il coseno degli angoli tra determinati oggetti.
a) Equazione del piano A1A2A3: Troviamo il prodotto vettoriale dei vettori A1A2 e A1A3: [ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 7-4 & 10-4 & 2-10 \ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} ] Allora l'equazione del piano è A1A2A3: [ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0. ] o [ 3x - 13y - 9z + 71 = 0. ]
b) Equazione della retta A1A2: Troviamo il vettore direzione della retta A1A2: [ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec {j} - 8\vec{k}. ] Quindi l'equazione della retta A1A2: [ \begin{cases} x = 4 + 3t, \ y = 4 + 6t, \ z = 10 - 8t. \end{casi} ]
c) Equazione della retta A4M: Poiché la retta A4M è perpendicolare al piano A1A2A3, il vettore direzione della retta A4M deve essere collineare al vettore normale al piano A1A2A3. Troviamo questo vettore normale: [ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. ] La retta MA4 passante per il punto A4 ha l'equazione: [ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} ] dove $k_1$ è un parametro arbitrario.
d) Equazione della retta A3N: Poiché la retta A3N è parallela alla retta A1A2, ha lo stesso vettore direzione: [ \overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}. ] La retta A3N passante per il punto A3 ha l'equazione: [ \begin{cases} x = 2 + 3t, \ y = 8 + 6t, \ z = 4 - 8t. \end{casi} ]
e) Equazione di un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla retta A1A2: Il vettore direzione della retta A1A2 è già stato trovato nel paragrafo precedente: $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$. Il vettore normale al piano desiderato deve essere perpendicolare a questo vettore di direzione, cioè avere coordinate , 6, -8$. Quindi l'equazione del piano desiderato ha la forma: [ 3(x-9) + 6(y-6) - 8(z-9) = 0. ] oppure [ 3x + 6y - 8z - 9 = 0. ]
f) Seno e coseno dell'angolo formato dalle rette A1A2 e A3N: I vettori di direzione delle rette A1A2 e A3N sono rispettivamente uguali a $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$ e $\overrightarrow{A_1A_3} = 3 \vec{i} + 2\vec{j} - 8\vec{k}$. Il loro prodotto scalare è pari a: [ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3} = 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + (-8) \cdot (-8) = 83. ] Le lunghezze dei vettori sono: [ |\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-8)^2} = \sqrt{109}, ] [ |\overrightarrow{A_1A_3}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{77}. ] Quindi il seno dell'angolo tra le rette può essere calcolato utilizzando la formula: [ \sin\alpha = \frac{|\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}|}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{\sqrt{77}}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{\sqrt{77}}{77}. ] E il coseno dell'angolo compreso tra le rette è uguale a: [ \cos\alpha = \frac{\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3}}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{83}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{83\sqrt{77}}{847}. ]
***
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Soluzione al problema 16.1.2 dalla collezione di Kepe O.E. - 16.1.2 При заданном уравнении вращения ? = 2(t2 + 1) наклонного стержня с осевым моментом инерции I ... ...