Рябушко А.П. ИДЗ 3.1 вариант 12

№1.12

Даны четыре точки А1(4;4;10); А2(7;10;2); А3(2;8;4); А4(9;6;9). Составить уравнения:

1. плоскости А1 А2 А3;
2. прямой А1А2;
3. прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
4. прямой А3N, параллельной прямой А1А2;
5. плоскости, проходящей через точку А4, перпендикулярной к прямой А1А2.

Вычислить:

1. синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
2. косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3.

а) Уравнение плоскости А1А2А3:

Найдем векторное произведение векторов А1А2 и А1А3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10-4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

Тогда уравнение плоскости А1А2А3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

или

\[ 3x - 13y - 9z + 71 = 0. \]

б) Уравнение прямой А1А2:

Найдем направляющий вектор прямой А1А2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}. \]

Тогда уравнение прямой А1А2:

\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{cases} \]

в) Уравнение прямой А4М:

Так как прямая А4М перпендикулярна к плоскости А1А2А3, то направляющий вектор прямой А4М должен быть коллинеарен вектору нормали к плоскости А1А2А3. Найдем этот вектор нормали:

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]

Проходящая через точку А4 прямая МА4 имеет уравнение:

\[ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \]

где $

№1.12

Даны четыре точки А1(4;4;10); А2(7;10;2); А3(2;8;4); А4(9;6;9). Составить уравнения:

1. плоскости А1 А2 А3;
2. прямой А1А2;
3. прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
4. прямой А3N, параллельной прямой А1А2;
5. плоскости, проходящей через точку А4, перпендикулярной к прямой А1А2.

Вычислить:

1. синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
2. косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3.

а) Уравнение плоскости А1А2А3:

Найдем векторное произведение векторов А1А2 и А1А3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10-4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

Тогда уравнение плоскости А1А2А3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

или

\[ 3x - 13y - 9z + 71 = 0. \]

б) Уравнение прямой А1А2:

Найдем направляющий вектор прямой А1А2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}. \]

Тогда уравнение прямой А1А2:

\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{cases} \]

в) Уравнение прямой А4М:

Так как прямая А4М перпендикулярна к плоскости А1А2А3, то направляющий вектор прямой А4М должен быть коллинеарен вектору нормали к плоскости А1А2А3. Найдем этот вектор нормали:

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]

Проходящая через точку А4 прямая МА4 имеет уравнение:

\[ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \]

где $k_

№1.12

Имеются четыре точки: А1(4;4;10); А2(7;10;2); А3(2;8;4); А4(9;6;9). Необходимо:

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3.
2. Найти уравнение прямой А1А2.
3. Найти уравнение прямой А4М, которая перпендикулярна плоскости А1А2А3 и проходит через точку А4.
4. Найти уравнение прямой А3N, параллельной прямой А1А2.
5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А4 и перпендикулярной прямой А1А2.

Также необходимо вычислить:

1. синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
2. косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3.

а) Уравнение плоскости А1А2А3:

Найдём векторное произведение векторов А1А2 и А1А3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10-4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

Тогда уравнение плоскости А1А2А3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

или

\[ 3x - 13y - 9z + 71 = 0. \]

б) Уравнение прямой А1А2:

Найдём направляющий вектор прямой А1А2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}. \]

Тогда уравнение прямой А1А2:

\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{cases} \]

в) Уравнение прямой А4М:

Так как прямая А4М перпендикулярна плоскости А1А2А3, то направляющий вектор прямой А4М должен быть коллинеарен вектору нормали к плоскости А1А2А3. Найдём этот вектор нормали:

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]

Проходящая через точку А4 прямая МА4 имеет уравнение:

\[ \begin{cases} x

В данном упражнении требуется найти уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки, прямой, проходящей через две заданные точки, и прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через заданную точку. Также необходимо найти уравнение прямой, параллельной заданной прямой, и уравнение плоскости, перпендикулярной заданной прямой и проходящей через заданную точку. Кроме того, нужно вычислить синус и косинус углов между заданными объектами.

а) Уравнение плоскости А1А2А3: Найдём векторное произведение векторов А1А2 и А1А3: [ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 7-4 & 10-4 & 2-10 \ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} ] Тогда уравнение плоскости А1А2А3: [ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, ] или [ 3x - 13y - 9z + 71 = 0. ]

б) Уравнение прямой А1А2: Найдём направляющий вектор прямой А1А2: [ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}. ] Тогда уравнение прямой А1А2: [ \begin{cases} x = 4 + 3t, \ y = 4 + 6t, \ z = 10 - 8t. \end{cases} ]

в) Уравнение прямой А4М: Так как прямая А4М перпендикулярна к плоскости А1А2А3, то направляющий вектор прямой А4М должен быть коллинеарен вектору нормали к плоскости А1А2А3. Найдём этот вектор нормали: [ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. ] Проходящая через точку А4 прямая МА4 имеет уравнение: [ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} ] где $k_1$ - произвольный параметр.

г) Уравнение прямой А3N: Так как прямая А3N параллельна прямой А1А2, то она имеет такой же направляющий вектор: [ \overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}. ] Проходящая через точку А3 прямая А3N имеет уравнение: [ \begin{cases} x = 2 + 3t, \ y = 8 + 6t, \ z = 4 - 8t. \end{cases} ]

д) Уравнение плоскости, проходящей через точку А4 и перпендикулярной прямой А1А2: Направляющий вектор прямой А1А2 ужебыл найден в предыдущем пункте: $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$. Вектор нормали к искомой плоскости должен быть перпендикулярен этому направляющему вектору, то есть иметь координаты , 6, -8$. Тогда уравнение искомой плоскости имеет вид: [ 3(x-9) + 6(y-6) - 8(z-9) = 0, ] или [ 3x + 6y - 8z - 9 = 0. ]

е) Синус и косинус угла между прямыми А1А2 и А3N: Направляющие векторы прямых А1А2 и А3N соответственно равны $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$ и $\overrightarrow{A_1A_3} = 3\vec{i} + 2\vec{j} - 8\vec{k}$. Их скалярное произведение равно: [ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3} = 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + (-8) \cdot (-8) = 83. ] Длины векторов равны: [ |\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-8)^2} = \sqrt{109}, ] [ |\overrightarrow{A_1A_3}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{77}. ] Тогда синус угла между прямыми можно вычислить по формуле: [ \sin\alpha = \frac{|\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}|}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{\sqrt{77}}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{\sqrt{77}}{77}. ] А косинус угла между прямыми равен: [ \cos\alpha = \frac{\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3}}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{83}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{83\sqrt{77}}{847}. ]

***

Рябушко А.П. ИДЗ 3.1 вариант 12 - это учебное задание или тест из курса "Информатика и программирование", разработанное автором Рябушко А.П. Вариант 12 представляет собой один из возможных наборов заданий, которые могут быть включены в эту версию теста. Задания могут включать в себя различные темы, связанные с информатикой и программированием, такие как алгоритмы, структуры данных, языки программирования и т.д. В зависимости от конкретного варианта задания могут быть разной сложности и требовать разных уровней знаний. Решение заданий из ИДЗ 3.1 вариант 12 может помочь студентам закрепить и проверить свои знания в области информатики и программирования.

***

1. Решение ИДЗ 3.1 вариант 12 от Рябушко А.П. - отличный цифровой товар для студентов, которые изучают программирование.
2. Я приобрел ИДЗ 3.1 вариант 12 и был приятно удивлен его содержимым и качеством.
3. Решение ИДЗ 3.1 вариант 12 помогло мне лучше понять материал по программированию благодаря четкому изложению и полезным примерам.
4. Рябушко А.П. создал отличный цифровой товар, который помог мне успешно выполнить задание по программированию.
5. ИДЗ 3.1 вариант 12 - это незаменимый ресурс для студентов, которые изучают программирование и хотят улучшить свои знания.
6. Я рекомендую ИДЗ 3.1 вариант 12 от Рябушко А.П. всем, кто хочет увеличить свои знания в области программирования.
7. Решение ИДЗ 3.1 вариант 12 - это отличный цифровой товар, который позволил мне лучше понять концепции программирования и сделать лучшие оценки в университете.

Особенности:

Рябушко А.П. ИДЗ 3.1 вариант 12 - отличный цифровой товар для тех, кто изучает программирование.

С помощью ИДЗ 3.1 вариант 12 можно легко и быстро освоить новые навыки в программировании.

Этот цифровой товар содержит множество полезных материалов, которые помогут улучшить навыки программирования.

Рябушко А.П. ИДЗ 3.1 вариант 12 - отличный выбор для тех, кто хочет улучшить свои знания в области информатики.

Если вы ищете эффективный способ улучшить свои навыки программирования, то ИДЗ 3.1 вариант 12 является идеальным выбором.

Рябушко А.П. ИДЗ 3.1 вариант 12 - это надежный и качественный цифровой товар, который поможет вам достичь успеха в программировании.

Этот цифровой товар содержит множество практических заданий, которые помогут закрепить полученные знания в программировании.