Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 12

№1.12

Givet fyra punkter A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Skapa ekvationer:

1. plan A1 A2 A3;
2. rak A1A2;
3. rät linje A4M, vinkelrät mot plan A1A2A3;
4. rät linje A3N parallell med rät linje A1A2;
5. plan som går genom punkt A4, vinkelrätt mot den räta linjen A1A2.

Beräkna:

1. sinus för vinkeln mellan den räta linjen A1A4 och planet A1A2A3;
2. cosinus för vinkeln mellan koordinatplanet Oxy och planet A1A2A3.

a) Ekvation för plan A1A2A3:

Låt oss hitta vektorprodukten av vektorerna A1A2 och A1A3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

Då är ekvationen för planet A1A2A3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

eller

\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]

b) Ekvation för linje A1A2:

Låt oss hitta riktningsvektorn för den räta linjen A1A2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]

Sedan är ekvationen för den räta linjen A1A2:

\[ \begin{fall} x = 4 + 3t, ​​\\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{fall} \]

c) Ekvation för linje A4M:

Eftersom den räta linjen A4M är vinkelrät mot planet A1A2A3, måste riktningsvektorn för den räta linjen A4M vara kolinjär med normalvektorn till planet A1A2A3. Låt oss hitta denna normala vektor:

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]

Den räta linjen MA4 som går genom punkt A4 har ekvationen:

\[ \begin{fall} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ ]

där $

№1.12

Givet fyra punkter A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Skapa ekvationer:

1. plan A1 A2 A3;
2. rak A1A2;
3. rät linje A4M, vinkelrät mot plan A1A2A3;
4. rät linje A3N parallell med rät linje A1A2;
5. plan som går genom punkt A4, vinkelrätt mot den räta linjen A1A2.

Beräkna:

1. sinus för vinkeln mellan den räta linjen A1A4 och planet A1A2A3;
2. cosinus för vinkeln mellan koordinatplanet Oxy och planet A1A2A3.

a) Ekvation för plan A1A2A3:

Låt oss hitta vektorprodukten av vektorerna A1A2 och A1A3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

Då är ekvationen för planet A1A2A3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

eller

\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]

b) Ekvation för linje A1A2:

Låt oss hitta riktningsvektorn för den räta linjen A1A2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]

Sedan är ekvationen för den räta linjen A1A2:

\[ \begin{fall} x = 4 + 3t, ​​\\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{fall} \]

c) Ekvation för linje A4M:

Eftersom den räta linjen A4M är vinkelrät mot planet A1A2A3, måste riktningsvektorn för den räta linjen A4M vara kolinjär med normalvektorn till planet A1A2A3. Låt oss hitta denna normala vektor:

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]

Den räta linjen MA4 som går genom punkt A4 har ekvationen:

\[ \begin{fall} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ ]

där $k_

№1.12

Det finns fyra punkter: A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Nödvändig:

1. Hitta ekvationen för planet som passerar genom punkterna A1, A2, A3.
2. Hitta ekvationen för linje A1A2.
3. Hitta ekvationen för den räta linjen A4M, som är vinkelrät mot plan A1A2A3 och går genom punkt A4.
4. Hitta ekvationen för rät linje A3N parallell med rät linje A1A2.
5. Hitta ekvationen för planet som går genom punkt A4 och vinkelrätt mot den räta linjen A1A2.

Du måste också räkna ut:

1. sinus för vinkeln mellan den räta linjen A1A4 och planet A1A2A3;
2. cosinus för vinkeln mellan koordinatplanet Oxy och planet A1A2A3.

a) Ekvation för plan A1A2A3:

Låt oss hitta vektorprodukten av vektorerna A1A2 och A1A3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

Då är ekvationen för planet A1A2A3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

eller

\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]

b) Ekvation för linje A1A2:

Låt oss hitta riktningsvektorn för den räta linjen A1A2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]

Sedan är ekvationen för den räta linjen A1A2:

\[ \begin{fall} x = 4 + 3t, ​​\\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{fall} \]

c) Ekvation för linje A4M:

Eftersom den räta linjen A4M är vinkelrät mot plan A1A2A3, måste riktningsvektorn för den räta linjen A4M vara kolinjär med normalvektorn till plan A1A2A3. Låt oss hitta denna normala vektor:

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]

Den räta linjen MA4 som går genom punkt A4 har ekvationen:

\[ \begin{cases} x

I den här övningen behöver du hitta ekvationerna för ett plan som går genom tre givna punkter, en linje som går genom två givna punkter och en linje som är vinkelrät mot planet och som går genom en given punkt. Det är också nödvändigt att hitta ekvationen för en linje parallell med en given linje och ekvationen för ett plan vinkelrätt mot en given linje och som går genom en given punkt. Dessutom måste du beräkna sinus och cosinus för vinklarna mellan givna objekt.

a) Ekvation för plan A1A2A3: Låt oss hitta vektorprodukten av vektorerna A1A2 och A1A3: [ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 7-4 & 10-4 & 2-10 \ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} ] Då är ekvationen för planet A1A2A3: [ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0. ] eller [ 3x - 13y - 9z + 71 = 0. ]

b) Ekvation för linje A1A2: Låt oss hitta riktningsvektorn för den räta linjen A1A2: [ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec {j} - 8\vec{k}. ] Sedan är ekvationen för den räta linjen A1A2: [ \begin{cases} x = 4 + 3t, ​​\ y = 4 + 6t, \ z = 10 - 8t. \end{fall} ]

c) Ekvation för linje A4M: Eftersom den räta linjen A4M är vinkelrät mot planet A1A2A3, måste riktningsvektorn för den räta linjen A4M vara kolinjär med normalvektorn till planet A1A2A3. Låt oss hitta denna normala vektor: [ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. ] Den räta linjen MA4 som går genom punkt A4 har ekvationen: [ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} ] där $k_1$ är en godtycklig parameter.

d) Ekvation för linje A3N: Eftersom den räta linjen A3N är parallell med den räta linjen A1A2, har den samma riktningsvektor: [ \overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}. ] Den räta linjen A3N som går genom punkt A3 har ekvationen: [ \begin{cases} x = 2 + 3t, ​​\ y = 8 + 6t, \ z = 4 - 8t. \end{fall} ]

e) Ekvation för ett plan som går genom punkt A4 och vinkelrätt mot den räta linjen A1A2: Riktningsvektorn för den räta linjen A1A2 har redan hittats i föregående stycke: $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$. Normalvektorn till det önskade planet måste vara vinkelrät mot denna riktningsvektor, det vill säga ha koordinater , 6, -8$. Sedan har ekvationen för det önskade planet formen: [ 3(x-9) + 6(y-6) - 8(z-9) = 0, ] eller [ 3x + 6y - 8z - 9 = 0. ]

f) Sinus och cosinus för vinkeln mellan räta linjer A1A2 och A3N: Riktningsvektorerna för räta linjer A1A2 och A3N är respektive lika med $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$ och $\overrightarrow{A_1A_3} = 3 \vec{i} + 2\vec{j} - 8\vec{k}$. Deras skalära produkt är lika med: [ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3} = 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + (-8) \cdot (-8) = 83. ] Längden på vektorerna är: [ |\överhögerpil{A_1A_2}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-8)^2} = \sqrt{109}, ] [ |\överhögerpil{A_1A_3}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{77}. ] Sedan kan sinus för vinkeln mellan räta linjer beräknas med formeln: [ \sin\alpha = \frac{|\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}|}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{\sqrt{77}}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{\sqrt{77}}{77}. ] Och cosinus för vinkeln mellan räta linjer är lika med: [ \cos\alpha = \frac{\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3}}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{83}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{83\sqrt{77}}{847}. ]

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 12 är en pedagogisk uppgift eller test från kursen "Informatik och programmering", utvecklad av författaren Ryabushko A.P. Alternativ 12 representerar en möjlig uppsättning objekt som kan inkluderas i den här versionen av testet. Uppdragen kan innehålla olika ämnen relaterade till datavetenskap och programmering, såsom algoritmer, datastrukturer, programmeringsspråk etc. Beroende på det specifika alternativet kan uppgifter vara av varierande komplexitet och kräva olika kunskapsnivåer. Att lösa uppgifter från IDZ 3.1 version 12 kan hjälpa eleverna att konsolidera och testa sina kunskaper inom datavetenskap och programmering.

***

1. Lösning IDZ 3.1 alternativ 12 från Ryabushko A.P. är en fantastisk digital produkt för studenter som lär sig programmering.
2. Jag köpte IDZ 3.1 version 12 och blev positivt överraskad av dess innehåll och kvalitet.
3. Lösningen till IPD 3.1 version 12 hjälpte mig att bättre förstå programmeringsmaterialet tack vare dess tydliga presentation och användbara exempel.
4. Ryabushko A.P. skapat en fantastisk digital produkt som hjälpte mig att framgångsrikt slutföra ett programmeringsuppdrag.
5. IDZ 3.1 version 12 är en oumbärlig resurs för studenter som lär sig programmering och vill förbättra sina kunskaper.
6. Jag rekommenderar IDZ 3.1 version 12 från Ryabushko A.P. alla som vill öka sina kunskaper inom programmeringsområdet.
7. IDS-lösning 3.1 version 12 är en fantastisk digital produkt som gjorde det möjligt för mig att bättre förstå programmeringskoncept och få bättre betyg på universitetet.

Egenheter:

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 12 är en fantastisk digital produkt för dem som lär sig programmering.

Med hjälp av IDZ 3.1 version 12 kan du enkelt och snabbt lära dig nya färdigheter i programmering.

Den här digitala produkten innehåller mycket användbart material som hjälper dig att förbättra dina programmeringsfärdigheter.

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 12 är ett utmärkt val för dig som vill förbättra sina kunskaper inom datavetenskap.

Om du letar efter ett effektivt sätt att förbättra dina programmeringsfärdigheter är IPD 3.1 Alternativ 12 det perfekta valet.

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 12 är en pålitlig och högkvalitativ digital produkt som hjälper dig att nå framgång i programmering.

Denna digitala produkt innehåller många praktiska uppgifter som hjälper dig att konsolidera dina kunskaper inom programmering.